La teoría de Galois, ¿ha resuelto algún problema importante aparte de sus aplicaciones originales a los problemas clásicos?

Question

La teoría de Galois, ¿ha resuelto algún problema importante aparte de sus aplicaciones originales (clásicas) a las raíces de una ecuación polinómica de quinto grado (o superior) (ecuaciones algebraicas resolubles y polígonos construibles)?

Tengo entendido que la Teoría de Galois se ha extendido y generalizado a muchos campos. Me pregunto si en esos campos la teoría ha resuelto algún problema importante.

Hago esta pregunta porque, a veces, "extender o generalizar una teoría" a un campo diferente no es difícil, pero ¿resuelve realmente problemas esta "nueva teoría"?

Answer 1

Es una pregunta muy razonable. De hecho, no todas las "generalizaciones" son más que mejoras técnicas. Pero, de hecho, la "teoría de Galois" se invoca constantemente en la teoría algebraica de números, y en la geometría algebraica después de Grothendieck, por ejemplo. No es tanto que "resolviera grandes problemas (identificables, claramente delimitados)", sino que hizo que varias cosas tuvieran sentido, tuvieran nombre y se prometiera que se comportaban de forma coherente con la intuición.

Es decir, no es tanto que hubiera episodios sensacionalistas/heroicos debidos a la teoría de Galois, sino que mundano podían operar a un nivel superior, de modo que ahora la "teoría de Galois" forma parte implícita del contexto de muchas discusiones orientadas al álgebra. "Ni que decir tiene..." Tal vez no sea dramático, pero sí indispensable.

Answer 2

La prueba de Wiles del último teorema de Fermat utiliza ampliamente la teoría de Galois.