Explicar por qué $\mathrm{ d/d}x$ no es hermético, sino que $\mathrm{i~ d/d}x$ es hermitiano

Question

Existe el argumento estándar, utilizando la definición del producto interior; que $\langle f|A|g\rangle =\langle g|A|f\rangle ^{*}$ para un operador hermitiano $A$ dado cualquier vector de onda $|f\rangle,~ |g\rangle$ .

También hay que tener en cuenta lo siguiente:

Consideremos el espacio de posición unidimensional infinito, con un vector columna de valores de la función de onda en puntos discretizados a lo largo de la $x$ -eje.

En el límite de las diferencias infinitesimales entre los valores de posición, tenemos $\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\approx \frac{1}{2h} (f(x+h)-f(x-h))$ , donde $(x+h)$ y $(x-h)$ son los valores discretos de posición que preceden y suceden al valor de posición $x$ y $h$ es lo suficientemente pequeño.

Entonces podríamos hablar de una representación matricial de dimensión infinita de ${\rm d/d}x$ donde sólo las dos "diagonales" adyacentes a la diagonal real tienen $1/2h$ y $-\:1/2h$ entradas. Esta matriz es simétrica. En todas las demás partes tenemos $0$ entradas.

Si multiplicamos esta matriz por $'\mathrm i'$ esta simetría oblicua se convierte en hermitiana, lo que hace que ${\rm i~ d/d}x$ hermético.

Edición: Como señala tparker en una respuesta más abajo, obtenemos $\langle x|\partial|x^\prime\rangle =\frac{\partial}{\partial x}\langle x|x^\prime \rangle =\frac{\partial}{\partial x}\delta(x-x^\prime)$ .

Como aquí se trata de un conjunto discreto de puntos en el espacio, debemos tener la normalización dada por la delta de Kronecker $\delta_{x,x^\prime}$ .

Informalmente, tenemos entonces $\partial(\delta_{x,x^\prime})|_{x~=~(x^\prime-h)}\approx\frac{1}{2h}(\delta_{x^\prime,x^\prime}-\delta_{x^\prime-2h,x^\prime})=\frac{1}{2h}$ y también $\partial(\delta_{x,x^\prime})|_{x~=~(x^\prime+h)}\approx-\frac{1}{2h}, ~~\partial(\delta_{x,x^\prime})|_{x~=~x^\prime}\approx 0$ , lo que nos da de nuevo una matriz sesgada-simétrica de la forma obtenida antes. Aquí escaneamos la matriz verticalmente en una columna determinada, mientras que en el cálculo anterior, escaneamos una fila fija horizontalmente.

Answer 1

Respuesta corta: porque para los operadores diferenciales la transposición es la integración por partes, y la integración por partes invierte los signos. Así que, por sí mismo, el operador derivado es antisimétrico (su transposición es el negativo del operador). El factor de $i$ añade otro cambio de signo al tomar el conjugado hermitiano (conjugado complejo y transposición) que contrarresta el cambio de signo de la transposición.

Respuesta un poco más larga: se pueden examinar los operadores lineales en función de su núcleo de integración . Para el operador derivado, el núcleo es: $$K(x,y) = -\delta'(x-y),$$ es decir $f'(x) = -\int \delta'(x-y) f(y) \operatorname{d}y$ para cualquier función razonablemente suave $f$ . Si se examina una representación gaussiana concreta de la función delta a anchura finita, se obtiene: $$K_\sigma(x,y) = \frac{[x-y]}{\sigma^3\sqrt{2\pi}} \operatorname{e}^{-\frac{[x-y]^2}{2\sigma^2}}.$$ La ventaja de mirar el núcleo de integración es que la transposición es fácil de definir de forma análoga a como funciona para las matrices. Para una matriz $\left[M^T\right]_{ij} = M_{ji}$ por lo que la transposición de un operador en términos de un núcleo de integración es: $$\left[K^T\right](x,y) = K(y,x).$$ Inspección de $K_\sigma(x,y)$ anterior es suficiente para demostrar que se satisface: $$K_\sigma(x,y) = -K_\sigma(y,x);$$ es decir, $K_\sigma(x,y)$ es antisimétrico.

Answer 2

Esta es exactamente la intuición correcta y, de hecho, la forma en que los físicos piensan al respecto. Muchos libros dan la versión continua del mismo argumento señalando que la derivada de la función delta de Dirac $\delta'(x - x')$ (que es básicamente el "elemento de la matriz" para el operador de la derivada) es impar bajo el intercambio $x \leftrightarrow x'$ es decir, la "matriz" correspondiente sería asimétrica.

Answer 3

En un ejemplo concreto, también se podría ver un producto escalar en $C^\infty$ , con $\langle \psi | \phi\rangle = \displaystyle \int \psi^* \phi \ \mathrm{d}x$ .

Tendrías $\langle \mathrm \psi ~| ( \mathrm i ~\partial_x | \phi \rangle ) = \displaystyle \int \psi^* (\mathrm i ~\partial_x \phi)~ \mathrm{d}x = \displaystyle\int (-~\mathrm i \partial_x \psi^*) \phi~ \mathrm{d}x= \langle \psi ~| (\mathrm i~ \partial_x)^\dagger | \phi \rangle$ , habiéndose integrado parcialmente una vez asumido el soporte compacto.

Por lo tanto, $\mathrm{d}/\mathrm{d}x$ por sí sola no sería hermética.

Answer 4

Qué operadores son hermitianos depende del tipo de producto interno que tengas en tu espacio de Hilbert y de cuáles sean las condiciones de contorno.

Si su producto interior se define como $\langle\phi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty dx\phi^*\psi$ entonces $\int_{-\infty}^\infty dx\phi^*(i\frac{d}{dx}\psi)=\int_{-\infty}^\infty dx(-i\frac{d}{dx}\phi^*)\psi=\int_{-\infty}^\infty dx(i\frac{d}{dx}\phi)^*\psi$ donde había que integrar por partes y suponer que los términos de frontera desaparecen. Si no es así, habría que añadir correcciones a la derivada para "rehermitir" el operador.

El ejemplo más sencillo es un producto escalar $\langle\phi|\psi\rangle:=\int_{a}^b dx\phi^*\psi$ con una condición de contorno en la que los campos desaparecen en $a$ y $b$ . Esto hace que haya que añadir términos de distribución delta adicionales a la derivada para rehermitir. Estos términos de distribución delta corresponden a las condiciones de contorno que uno tendría que implementar para una partícula en una caja con paredes infinitamente altas.

Por lo tanto, lo que es hermitiano depende de las condiciones de contorno y del producto interno del espacio de Hilbert.

Answer 5

¡La Hermiticidad del operador derivado depende del objeto/función sobre el que actúan! Estas funciones derivadas por sí solas no son ni hermitianas, ni no hermitianas; las respuestas que afirman lo contrario son incompletas y/o incorrectas. Es la el operador de impulso que debe ser hermitiana si el momento es un observable, no la derivada. El operador de momento es precisamente "una operación realizada sobre una función que extrae el momento", $p$ . Prueba: consideremos la función $e^{\mathrm ipx}$ . La operación que extrae el impulso en este caso es $-~\mathrm i\partial_x$ . Si la función fuera en cambio $e^{px}$ la forma del operador de momento en términos de una derivada tendría que cambiarse a $+\partial_x$ . En cada caso, el operador de momento es hermitiano en este contexto. Mientras que los efectos de la derivada entre los dos casos cambia, QED.

En la mecánica cuántica no relativista, sin embargo, los sujetadores y los kets adquieren propiedades matemáticas específicas, para modelar con precisión la física que ocurre. Por lo general, aquí tienen $p|~\rangle=-~\mathrm i\partial_x|~\rangle$ y $p\langle ~|=+~\mathrm i\partial_x\langle ~|$ (Factores de $\hbar$ se suprimen aquí). Si combinamos esto con la correlación que $p|~\rangle\leftrightarrow (p\langle~ |)^\dagger$ En este contexto, es bastante sencillo analizar las propiedades de las derivadas mencionadas. Basta con comprobar que $-~\mathrm i\partial_x|~\rangle =(+\mathrm i\partial\langle ~|)^\dagger=(\mathrm i\partial_x)^\dagger(\langle~|)^\dagger$ Así que el operador de momento en esta forma es efectivamente hermitiano en QM.

En cuanto a la derivada real $\partial_x$ dentro del escenario estándar de la mecánica cuántica no relativista, se puede utilizar la simple identidad de que cualquier operador hermitiano multiplicado por $\mathrm i$ es un operador antihermitiano. $(\mathrm i\Omega_H)^\dagger=-~\mathrm i\Omega_H$ .