dos preguntas sobre topología general

Question

1. Dejemos que $X$ sea un conjunto conexo de números reales. Si cada elemento de $X$ es irracional entonces la cardinalidad de $X$ es

   1. Infinito
   2. Contablemente finito
   3. $3$
   4. $1$

2. Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico y que $AX$ . Para $xX$ , defina $$d(x,A) = \inf\{d(x,a):aA\}.$$ Si $d(x,A)=0$ para todos $xX$ Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones debe ser cierta?

   1. $A$ es compacto
   2. $A$ está cerrado
   3. $A$ es denso en $X$
   4. $A=X$

Mis pensamientos:
Para la primera pregunta, 4 es correcto ya que los racionales o irracionales son densos.
Para la 2ª pregunta, la 3 es correcta ya que en ese caso cada punto de $A$ se convierte en un punto límite de $X$ .

¿Son correctas mis conclusiones?

Answer 1

Tus respuestas son correctas, pero la razón que das para el primer problema podría estar mejor expuesta. El hecho de que los irracionales sean densos en $\Bbb R$ es irrelevante: lo que importa es que los racionales son densos. Se sabe que un subconjunto conexo de $\Bbb R$ debe ser un intervalo, pero todo intervalo no trivial contiene un intervalo abierto no vacío y, por tanto, un número racional, por lo que los únicos conjuntos conexos formados enteramente por números irracionales son intervalos triviales de la forma $[x,x]=\{x\}$ por irracional $x$ .

Jonas Meyer hace la buena observación de que muchos de nosotros consideramos que el conjunto vacío es conexo y, por lo tanto, diría que la respuesta correcta es que $|X|\le 1$ . Sin embargo, esta no es una opción disponible, por lo que está claro que $|X|=1$ es la respuesta deseada.

Answer 2

Ambas líneas de pensamiento son correctas (supondremos que $A$ es no vacía para evitar el punto de Jonas, ya que 0 no es una de las opciones de todos modos). Formalmente para (1), podemos utilizar que cualquier conjunto conexo de números reales goza de la propiedad del valor intermedio: si $x,y\in A$ y $x < z < y$ entonces $x \in A$ . Ahora bien, si $|A|>1$ entonces existe $x < y$ en $A$ . Entonces hay un número racional $r$ con $x < r < y$ por la densidad de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$ pero $A$ contiene sólo números irracionales, contradicción. Así que $|A|\leq 1$ y como $A$ se asume como no vacía $|A|=1$ .

Answer 3

Para su segunda pregunta, su respuesta es correcta. Para cada x en X, $\{x\}$ puede considerarse como un conjunto compacto.para cualquier subconjunto A de X, $d(x,A)=0$ significa que o bien x está en A o es un punto límite de A que es igual a $x\in \overline A$ esto es cierto para todas las x de A. Por lo tanto $X= \overline A$