Divergente la serie de variables aleatorias

Question

He estado tratando de demostrar que dada una secuencia de variables aleatorias independientes con idéntica distribución $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $P(X_1 \neq 0)>0$, por lo que también se $P(X_i \neq 0) >0 \ \ \forall i$, la serie $$\sum_{n \in \mathbb{N}} X_n \ \ \text{is diverent almost surely}.$$

Es decir, tengo que demostrar que $P(\omega| \ \exists \varepsilon>0 : \forall N \in \mathbb{N} \exists m, n \ge N : |S_m(\omega) - S_n(\omega)| > \varepsilon)$.

Se trata de una serie de variables aleatorias, así que pensé que podría utilizar Borel-Cantelli lema. Esto implica que la serie de $\sum_{n \in \mathbb{N}} P(X_m \neq 0) $ es divergente.

Esto es debido a que $\forall n \in \mathbb{N} : P(X_n \neq 0) = c >0$, debido a que las variables tienen las mismas distribuciones.

Pero creo que no es útil, debido a que por la desigualdad de Markov también tenemos para $a \ge 0$:

$$\mathbb P (|X| \ge a) \le \frac{\mathbb E(|X|)}{a}.$$

Así que parece que la serie es divergente en $L^1.$ Pero ¿por qué es divergentes, casi con toda seguridad?

Podría utilizar la ley de los grandes números? Si es así, ¿cómo? Las variables de satisfacer todas las condiciones necesarias para la siguiente tener:

$$\frac{S_n}{n} = \frac{X_1 + ... + X_n}{n} \to \mathbb{E}X_1 \ \ \text{a.s.}$$

Pero eso no implica que la serie es divergente?

Podría usted ayudarme a terminar eso?

Answer 1

Sugerencias:

1. Desde $\mathbb{P}(X_1 \neq 0)>0$ existe $\epsilon>0$ tal que $\mathbb{P}(|X_1|>\epsilon)>0$.
2. A la conclusión de $$\sum_{n \geq 1} \mathbb{P}(|X_n|>\epsilon)= \sum_{n \geq 1} \mathbb{P}(|X_1|>\epsilon) =\infty$$ and the Borel-Cantelli lemma that $|X_n(\omega)|>\epsilon$ happens infinitely often for almost all $\omega \en \Omega$.
3. Deducir que $$\sum_{n \geq 1} X_n $$ es divergente casi seguramente.