Un grupo de orden $p^2$ tiene un subgrupo de orden $p$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo de orden $p^2$ , donde $p$ es primo. Demuestre que $G$ debe tener un subgrupo de orden $p$ .

Lo que tengo hasta ahora:

$$G^{p^2} =e .$$

Si $G$ tiene un elemento $g$ de orden $p^2$ entonces $g^p$ es de orden $p$ . $\langle g^p\rangle$ es un subgrupo de orden $p$ .

$G$ debe tener un elemento $a$ de orden $p$ por el Teorema de Lagrange. $\langle a\rangle$ es un subgrupo de orden $p$ .

¿Es esto suficiente? ¿O me falta algún detalle?

Answer 1

Se equivoca al afirmar que " $G$ debe tener un elemento $a$ de orden $p$ por el Teorema de Lagrange".

El Teorema de Lagrange dice que si $H$ es un subgrupo de $G$ entonces $|H|$ divide $|G|$ . En particular, dejando que $H=\langle x\rangle$ dice que si $x$ es un elemento de $G$ entonces $|x|$ divide $|G|$ .

Teorema de Lagrange no dicen que si $p$ divide $|G|$ entonces hay un elemento de $G$ de orden $p$ .

Sin embargo, estás muy cerca.

Dejemos que $x$ sea un elemento de $G$ que la identidad. Por el Teorema de Lagrange, se sabe que el orden de $x$ debe dividir $|G|=p^2$ y como los únicos divisores de $p^2$ son $1$ , $p$ y $p^2$ , lo que significa que $|x|=1$ , $p$ o $p^2$ . Si es $p^2$ puede proceder como lo hizo anteriormente. Si es $p$ puede proceder como lo hizo anteriormente. Entonces, ¿por qué no se puede tener $|x|=1$ ?

Answer 2

Esto se deduce del teorema de Cauchy. Si $n$ es el orden del grupo y $p$ es un número primo que divide a $n$ hay un elemento de orden $p$ en $G$ . En su caso, $n=p^2$ . Por lo tanto, hay un elemento de orden $p$ . El subgrupo generado por este elemento es pues (cíclico) de orden $p$ .

Answer 3

¿Por qué considera el centro del grupo? Entonces lo encontrarás conmutativo.