Pregunta sobre irreductible representación de un álgebra de Banach

Question

Deje $\mathcal A$ ser un álgebra de Banach sobre $\mathbb{C}$, $\mathcal X$ un irreductible a la izquierda $\mathcal A$-módulo. Si $x,y \in \mathcal X$ son linealmente independientes, existe un elemento $a\in\mathcal A$ tal que $ax=x$$ay=0$.

Es esto cierto? Si es cierto, ¿cómo demostrar?

Muchas gracias.

Answer 1

Esto es falso. Considere la posibilidad de $\mathcal{A} = \mathbb{C}$ como un álgebra sobre $\mathbb{R}$, y deje $\mathcal{X} = \mathcal{A}$, visto como un (a la izquierda) $\mathcal{A}$-módulo por la izquierda de la multiplicación.

Si $M$ es un no-cero submódulo de $\mathcal{X}$ $0 \neq m \in M$ $a = (a/m)\cdot m \in M$ todos los $a \in \mathcal{A}$$M = \mathcal{X}$. Por lo tanto $\mathcal{X}$ es simple.

Ahora $1$ $i$ son elementos en $\mathcal{X}$ que son linealmente independientes sobre el campo de tierra $\mathbb{R}$, sin embargo si $ax = x$$a = 1$$ay = i \neq 0$.

El mismo ejemplo funciona siempre que su simple módulo tiene endomorfismo anillo de $D := End_{\mathcal{A}}(\mathcal{X})$ estrictamente mayor que el campo base del álgebra.

Sin embargo, si usted la misma pregunta con un fuerte condición de independencia lineal de más de $D$, entonces el resultado es true. Esto se desprende de las Jacobson Densidad Teorema.