¿Esta serie $\sum_{i=0}^n \frac{4}{3^n}$ divergen o convergen?

Question

Yo un novato en la serie, y no he hecho demasiado todavía. Tengo un ejercicio en el que básicamente han de decir si algunas series son convergentes o divergentes. Si convergente, determinar (y demostrar) la suma de la serie.

Esta es la primera de la serie:

$$\sum_{i=0}^n \frac{4}{3^i}$$

He oído hablar de la prueba de razón, así que me decidí a probar a aplicar en este caso para ver si la serie es o no convergente.

La relación de la prueba se define básicamente como este:

$$L = \lim{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}$$

Donde $a_n$ es en este caso el $\frac{4}{3^n}$ $a_{n+1}$ es, en consecuencia,$\frac{4}{3^{n+1}}$. Por lo tanto, tenemos:

$$L = \lim{\left|\frac{\frac{4}{3^{n+1}}}{\frac{4}{3^n}}\right|} = \lim{\left|\frac{4 \cdot 3^n}{3^{n+1} \cdot 4}\right|} = \lim{\left|\frac{3^n}{3^{n+1}}\right|} = \lim{\left|\frac{3^n}{3^n\cdot 3}\right|} = \lim{\left|\frac{1}{3}\right|} = \frac{1}{3} < 1$$

A partir de la prueba de razón, sabemos si $L< 1$, entonces la serie converge.

Ahora, necesito encontrar la suma. He seguido un vídeo que explica cómo encontrar la suma usando la relación, que sinceramente no he de entender bien lo que es. Puede usted explicar una regla general para encontrar la relación, y ¿qué es exactamente?

Ok. Por lo tanto, siguiendo el mismo proceso que se realiza durante el video, yo tengo:

$$\sum_{i=0}^n \frac{4}{3^n} = 4 \sum_{i=0}^n \frac{1}{3^n} = 4 \sum_{i=0}^n \left(\frac{1}{3}\right)^n$$

Al parecer, nuestra relación$r$$\frac{1}{3}$.

Ahora, para encontrar la suma de la serie, se utiliza la siguiente fórmula:

$$\frac{\text{first term}}{1 - r}$$

Donde el primer término es el primer término de la serie. Se puede explicar de donde esta fórmula proviene de?

La aplicación de esta fórmula, obtenemos:

$$\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^0}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$$

He comprobado la suma usando una calculadora en línea, y al parecer no es $\frac{3}{2}$, así que me decidí a manipular, y yo pensé que a la izquierda un $4$ fuera de la serie, así que multiplicar ese $4$$\frac{3}{2}$, lo que produce $\frac{12}{2} = 6$, que es exactamente la suma que he encontrado usando 2 calculadoras en línea.

Ahora, mi 3ª pregunta es: ¿por qué lo que hice es correcto (o no correcto)?

Answer 1

Esta será una muy larga la respuesta, pero infinitas sumas fueron una de mis cosas favoritas en el cálculo.

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En primer lugar, debo señalar que hay un error tipográfico en su suma. Observe que $$\sum_{i=0}^n\frac{4}{3^n} = \frac{4}{3^n}+\frac{4}{3^n}+\frac{4}{3^n}+\ldots + \frac{4}{3^n} = (n+1)\frac{4}{3^n}$$ while I believe the geometric sum you are interested in is $$\sum_{i=0}^n\frac{4}{3^i} = \frac{4}{3^0}+\frac{4}{3^1}+\frac{4}{3^2}+\ldots + \frac{4}{3^n}$$

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Primera pregunta: Se aplica correctamente la relación de la prueba y demostró que esta serie se convergen en el infinito. Como una regla general para encontrar la razón, voy a hacer mi mejor esfuerzo para explicar con un ejemplo. En resumen ha a $(1)$ buscar un patrón, y $(2)$ luego coincidencia de patrón. Digamos que usted está buscando en una suma $$C+\frac{C}{2}+\frac{C}{4}+\frac{C}{8}+\frac{C}{16}+\ldots$$ where $C$ is some constant. There is nothing wrong with factoring out the $C$ since it is not changing from numerator to numerator (the same cannot be said about the denominator.) So, $$C+\frac{C}{2}+\frac{C}{4}+\frac{C}{8}+\frac{C}{16}+\ldots = C\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ldots\right)$$ Now we can focus on the quantity inside the parentheses. This is where you need to start looking for patterns. By that I mean notice that every number in the parentheses can be rewritten as $\frac{1}{2^n}$ for some integer $n$. It should be clear that $\frac{1}{2}$ is a common ratio of each term. If this is true of every number in the series, then we have what is called a geometric series. Convince yourself of the following equality: $$C+\frac{C}{2}+\frac{C}{4}+\frac{C}{8}+\frac{C}{16}+\ldots = C\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}$$ Whenever you are given a geometric sum, you want to pattern match it to this form. That is, pull out a constant if you can, and make it so the common ratio is clearly discernible inside the sum, raised to the power of $n$, starting at $n=0$. This will allow you to use the formula to find the value of a convergent geometric series. Sometimes $C$ will also look like the common ratio. This can be a bit confusing. For example, the sum $$4+2+1+\frac{1}{2}+\ldots$$ is identical to the sum above, except that $C=4$. Factoring out a $4$ from the sum will leave you with exactly the same series as above. If you come across the sum $$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^{2n}$$ you will need to do some "pattern matching." First notice that $\left(\frac{1}{3}\right)^{2n} = \left(\frac{1}{9}\right)^{n}$ so $$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^{2n} = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{9}\right)^{n}$$ But now the index doesn't start at $n=0$. So let's factor out $\frac{1}{9}$ from each term. Since $\left(\frac{1}{9}\right)^{n}=\frac{1}{9}\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}$ then we have $$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{9}\right)^{n}=\frac{1}{9}\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{9}\right)^{n-1} = \frac{1}{9}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{9}\right)^{n}$$ y se han transformado ahora la suma a que puede ser fácilmente abordado.

Más generalmente, si usted tiene una suma $$x_0+x_1+x_2+x_3+\ldots$$ where $x_i$ is some number and you realize that you can use algebra to rewrite each $x_i$ as $ar^i$ where $a,r$ are constants, then you will have a geometric sum with common ratio $r$ multiplied by $$. Ser amigos con las reglas de los exponentes! Usted tendrá que utilizar estos casi cada vez que usted está buscando patrones o coincidencia de patrones.

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Segunda pregunta: La fórmula que mencionar es bastante fácil derivar. Vamos a definir $S_n = a+ar+ar^2+ar^3 + \ldots + ar^n$. Debe quedar claro que esta es una suma geométrica con razón común $r$. Ahora multiplique $S_n$ $r$ conseguir $rS_n = ar+ar^2+ar^3+\ldots ar^{n+1}$. Vamos a subract $S_n$ $rS_n$ a resolver para$S_n$, de modo que podemos encontrar una forma diferente pero equivalente en forma de $S_n$. Suena un poco raro pero es muy útil. $$rS_n-S_n = \left(ar+ar^2+ar^3+\ldots ar^{n+1}\right)-\left(a+ar+ar^2+ar^3 + \ldots + ar^n\right) \\ \implies S_n(r-1) = ar^{n+1}+(ar^n-ar^n)+(ar^{n-1}-ar^{n-1})+\ldots + (ar-ar)-a \\ \implies S_n(r-1) = ar^{n+1}-a \\ \implies S_n = \frac{ar^{n+1}-a}{r-1}$$ La igualdad tiene para todos los $r\neq 1$. Lo siguiente que tenemos que hacer un poco de análisis en $ar^{n+1}$. Si $|r|>1$, se debe tener claro que $ar^{n+1}$ se hacen más grandes como $n$ aumenta (o llegar a ser más negativo si $r<-1$). Esto significa que la cantidad de $\frac{ar^{n+1}-a}{r-1}$ no se comportan bien como $n \to \infty$ desde $ar^{n+1}$ va a crecer fuera de control. Ahora si $|r|<1$, $ar^{n+1}$ se vuelve más y más pequeño de lo $n$ aumenta. Normalmente no demostrar rigurosamente en un principiante clase de cálculo que $ar^{n+1} \to 0$$n \to \infty$, pero que es lo que va a suceder. Espero que no te importa me handwaving allá de este detalle como mi calc maestros me hicieron a mí! Puedo incluir una rigurosa prueba, si no me creen. Si usted no tome mi palabra en este detalle, a continuación,$$\lim_{n \to \infty} \frac{ar^{n+1}-a}{r-1} =\frac{0-a}{r-1} \\ = \frac{-a}{(-1)(1-r)} \\ = \frac{a}{1-r}$$ which establishes the formula for convergent geometric series (geometric series with common ratio $| r|<1$).

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Tercera pregunta: podría ser difícil responder a esta pregunta sin sonar redundante. Estás en lo correcto en su trabajo en esta serie geométrica porque usted correctamente patrón emparejado su serie con la forma que permite el uso de la ecuación de $\frac{a}{1-r}$. Usted seguido correctamente todos los pasos necesarios que debe seguir para evaluar una serie geométrica convergente. Por lo tanto, lo que hizo es correcto. Esta es una de esas cosas buenas acerca de las matemáticas. Si haces todo bien en cada paso de la manera, usted siempre será correcto.

Answer 2

Aquí es una simple prueba para el geométrica de convergencia:

Supongamos que tenemos la suma finita:

$$1+r+r^2+r^3+r^4+\dots+r^k$$ with $r\neq 1$

Dado que esta es una suma finita, se reunirán a algunos desconocidos cantidad: $S$

Así: $$\begin{array}{lrl} S & =& 1+r+r^2+r^3+r^4+\dots+r^k\\ r\cdot S & =& ~~~~~~~ r+r^2+r^3+r^4+r^5+\dots+r^{k+1}\\ S-r\cdot S& = & 1 - r^{k+1}\\ S & = & \frac{1-r^{k+1}}{1-r}\end{array}$$

Si $r=1$, claramente $S = k+1$

El uso de esta información para la serie infinita, se deduce que el $\sum\limits_{i=0}^\infty r^i = \lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{i=0}^k r^i = \lim\limits_{k\to\infty} \frac{1-r^{k+1}}{1-r}$

En el caso de que $|r|>1$ este diverge claramente, y al $|r|<1$ $r^{k+1}$ plazo es insignificante, por lo que este va a converger. En el caso de que $r=1$, seguido de la otra forma donde$S = k+1$, claramente divergentes, que en el caso de que $r=-1$ también divergen desde la secuencia de sumas parciales se alterna entre el 1 y el 0.

Como una regla general para encontrar la relación, en una serie geométrica, será de la forma $\sum a \cdot r^n$. Intente manipular algebraicamente el sumando para estar en forma. Por ejemplo: $\sum 3\cdot \frac{5^n}{6^{n+1}} = \sum 3\cdot \frac{5^n}{6^n\cdot 6} = \sum \frac{3}{6}\cdot (\frac{5}{6})^n$, y su relación se $\frac{5}{6}$

Answer 3

Deje $S_N=\sum_{i=0}^{N} r^i=1+r+r^2+\cdots r^N$. Tenga en cuenta que

$$\begin{align} rS_N&=\sum_{i=0}^{N} r^{i+1}\\ &=r+r^2+r^3+\cdots+r^N+r^{N+1} \end{align}$$

Así, si se forma la diferencia de $S_N-rS_N$ nos encontramos con $S_N-rS_N=(1-r)S_N=1-r^{N+1}$ en caso de que al resolver para $S_N$ encontramos $$\begin{align} S_N&=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}\\ \end{align}$$

Si $r<1$, $r^{N+1} \to 0$ $N \to \infty$ y hemos

$$\sum_{i=0}^{\infty} r^{i}=\frac{1}{1-r}$$.

Si $r=\frac{1}{3}$,$\sum_{i=0}^{\infty} (\frac13)^{i}=\frac{1}{1-\frac13}=\frac32$.

Si la serie es $4\sum_{i=0}^{\infty} (\frac13)^{i}$, luego tenemos a $4\sum_{i=0}^{\infty} (\frac13)^{i}=4\frac{1}{1-\frac13}=4\frac32 = 6$

Answer 4

Una prueba de que, si el lado izquierdo converge: $$a+ar+ar^2+\dotsb=\frac a{1-r}$$

Llame a la suma de $S$. Por lo tanto, tenemos $S=a+ar+ar^2+\dotsb$.

$\phantom rS=a+ar+ar^2+ar^3+\dotsb$
$rS=\phantom{a+{}}ar+ar^2+ar^3+\dotsb$ (usando la propiedad distributiva)

Por lo tanto: \begin{align} S&=a+rS\\ S-rS&=a\\ S(1-r)&=a\\ S&=\frac a{1-r} \end{align}