Sobre la integral que implica los factores de potencia.

Question

Quizá esta integral sea fácil... pero hasta ahora no he podido resolverla:

\begin {Ecuación} \int_0 ^ \infty y^{-b} (y+a)^{1-b} \N, dy \end {Ecuación}

donde $b$ es una constante positiva.

He intentado utilizar la subtitución. Reescribiendo

\begin {equation} y^{-b} (y+a)^{1-b} = \frac {y+a}{(y^2+ay)^b} \end {ecuación} Al hacer $y^2+ay = u^{1/b}$ ...casi lo conseguí... pero falló al final. Tenga en cuenta que:

\begin {ecuación} 2y \, dy + a \N, dy = \frac {1}{b}u^{ \frac {1-b}{b} \N -, du \end {Ecuación}

Se agradece cualquier ayuda... gracias

Answer 1

Esta integral es siempre divergente .

Prueba . Supongamos que $a>0$ . Siendo el integrando continuo sobre cualquier compacto $[b_1,b_2]$ Los problemas potenciales son tan $y \to 0^+$ y como $y \to \infty$ .

Como $y \to 0^+$ , uno tiene $$ y^{-b} (y+a)^{1-b} \sim \frac{a^{1-b}}{y^b} $$

dando una integral convergente si $\,b<1$ .

Como $y \to \infty$ , uno tiene $$ y^{-b} (y+a)^{1-b}=y^{-b}y^{1-b} \left(1+\frac{a}y\right)^{1-b} \sim \frac1{y^{2b-1}} $$

dando una integral convergente si $\,2b-1>1$ es decir si $\,b>1$ .

Nota: . El caso $a=0$ está claro.

Answer 2

Suponiendo que $a>0$ sustituyendo $y=ax$ obtenemos $$ \int_{0}^{+\infty}y^{-b}(y+a)^{1-b}\,dy = a^{2-2b} \color{blue}{\int_{0}^{+\infty}x^{-b}(x+1)^{1-b}\,dx} $$ pero la integral azul no es convergente. La función integrante se comporta como $x^{-b}$ en una vecindad correcta del origen, por lo que para garantizar la integrabilidad allí debemos tener $b<1$ .
En este caso, sin embargo, la función integrante se comporta como $x^{1-2b}$ en una vecindad izquierda de $+\infty$ que no es integrable allí.

Answer 3

\begin {align} u & = \frac 1 {1+y} \\ [8pt] dy & = \frac {-du}{u^2} \end {align} \begin {align} \int_0 ^ \infty y^{-b} (y+a)^{1-b} \N, dy & = \int_1 ^0 \left ( \frac {1-u} u \right )^{-b} \left ( \frac {1-u} u + a \right )^{1-b} \left ( \frac {-du}{u^2} \right ) \\ [10pt] & = \int_0 ^1 \frac {(1-u)^{-b}( 1 - (1-a) u )^{1-b} \N, du} {u^4}. \end {align}

Yo pensaría en comparar esto con $\displaystyle \int_0^\varepsilon \frac{du}{u^4}$ .