Así que tengo que pensar acerca de la serie armónica, y cómo se aleja, aunque cada una de las subsiguientes plazo tiende hacia cero. Eso significaba que su integral desde el 1 hasta el infinito debe también divergen, pero el volumen de la revolución también divergen (para la función y=1/x)? Rápidamente me di cuenta de que su volumen es en realidad finita, porque para encontrar el volumen de la revolución de la función que se ha integrado a elevar al cuadrado, lo que daría 1/x^2, y, como todos sabemos, que converge. Entonces, mi pregunta es, ¿hay otras funciones que comparten esta propiedad? La única familia de funciones que sé que satisfacen este es 1/x, 2/x 3/x, etc.
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Gudmundur Orn
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Del usuario respuesta es buena - pero yo quería hablar de un tema relacionado. Quizás también tenga en cuenta que la superficie de su objeto también es infinito, a pesar de su volumen finito. Por lo tanto, si usted fuera a 'mantener' un objeto, se puede rellenar con pintura, pero nunca cubren sus paredes. Esto tiene un nombre - Gabriel Cuerno o Trompeta de Torricelli), y usted puede leer sobre él aquí.
$\frac{1}{x^p}$ $\frac{1}{2} < p \leq 1$ satisfacer todas estas propiedades.
Entonces, por el límite de la prueba de comparación, cualquier función positiva $f(x)$ con el propery que existe una $\frac{1}{2} < p \leq 1$, de modo que
$$ \lim_{x \to \infty} x^p f(x) = C \in (0, \infty) \,.$$
también tiene esta propiedad... Esto le permite crear un montón y perdida de ejemplo, sólo tiene que añadir a $\frac{\alpha}{x^p}$ cualquier "más pequeño" de la función. (es decir,$o(\frac{1}{x^p} )$)
