Respondamos al problema para un universo 1D. Tienes una nave espacial que tiene efectivamente la forma de una lata de coque, con una sola cara plana orientada a la dirección x positiva y otra cara idéntica orientada a la dirección x negativa. Todos los fotones viajan en la dirección positiva o negativa, todos van $c$ , tanto según la nave espacial como según un observador estacionario respecto al CMB.
Tomar la velocidad de la nave espacial para ser $v$ respecto al CMB en la dirección x positiva. Los fotones que golpean la cara frontal de la nave espacial tienen una frecuencia desplazada al azul $v'=v \sqrt{ (c+v)/(c-v)}$ . Signo inverso para la frecuencia desplazada al rojo de los fotones que inciden en la cara posterior.
Yo diría que para este universo 1D, los fotones golpean la parte delantera de la nave espacial a la misma velocidad que la parte trasera, pero creo que esto sería incorrecto para un mundo 3D (o incluso 2D). Este razonamiento es difícil de resolver. Consideremos que los fotones del CMB se distribuyen según un entramado regular. La nave espacial en movimiento considera que un eje de este entramado (el único en 1D) está contraído en longitud, pero esto no cambia el hecho de que sigue siendo un entramado regular. Todos los fotones viajan a la misma velocidad según la nave espacial, por lo que en 1D, la parte delantera y la trasera están sometidas al mismo número por unidad de tiempo. En 3D, sin embargo, hay direcciones de fotones que golpearían la parte trasera de una nave espacial estacionaria, pero golpearían la parte delantera de una nave espacial en movimiento. Por lo tanto, es incorrecto extrapolar esta suposición de 1D a 3D, así que en ese sentido mi respuesta será incorrecta para 3D.
La tasa de energía depositada en la parte delantera frente a la trasera se deduce fácilmente si suponemos que todos los fotones son absorbidos. Utilizaré $n$ para el número de fotones depositados por unidad de tiempo. De nuevo, en 1D $n$ es el mismo para ambas caras, pero esto es erróneo en 3D.
$$\dot{Q}_f = n h v' = n h \sqrt{ \frac{c+v}{c-v} }$$ $$\dot{Q}_b = n h \sqrt{ \frac{c-v}{c+v} }$$
La fuerza en ambas caras es el número absorbido por unidad de tiempo por su momento.
$$F_f = n \frac{h v'}{c} = \frac{n h}{c} \sqrt{ \frac{c+v}{c-v} }$$
Fuerza neta en 1D:
$$ F = \frac{n h}{c} \left( \sqrt{\frac{c+v}{c-v}} - \sqrt{\frac{c-v}{c+v}} \right)$$
Esto va en dirección contraria, lo que no es bueno. Lo ideal sería diseñar una situación más favorable para nuestra nave espacial. Una opción obvia sería hacer que la cara trasera refleje los fotones y la cara delantera los absorba por completo, entonces se obtiene el doble de empuje hacia adelante y el mismo empuje hacia atrás. Si su nave espacial estuviera a 0 grados Kelvin, esto funcionaría... hasta que llegara a 1/3 c, momento en el que el desplazamiento azul supera el beneficio y sigue impartiendo una fuerza neta en la dirección inversa.
Propongo dos ejemplos de soluciones de cómo se podría utilizar el CMB para obtener una ventaja neta:
Propuesta 1: Hacer transparente todo el frente. No tengo ni idea de cómo se puede hacer esto, pero no hay nada que lo impida físicamente. Tu nave espacial es completamente pasiva y sólo un espejo de 2 vías. Si alguien conoce un principio que lo impida, hágamelo saber en los comentarios.
Propuesta 2: Para una solución más tosca, haz que la cara delantera sea una cara absorbente, la cara trasera una cara reflectante a la temperatura del CMB, una superficie absorbente a la temperatura que tiene, y utiliza una bomba de calor para bajar la temperatura de la cara delantera y subir la de la cara trasera. Si se tiene en cuenta la dinámica 3D, potencialmente se podría liberar el empuje inverso de forma direccional para obtener un mejor empuje que si se limitara a emitir su energía-materia a bordo en forma de fotones desde la cara posterior. Esta solución estaría limitada por la eficiencia de su bomba de calor.
A velocidades hiperrelativistas $v\approx c$ la energía y la fuerza de la cara posterior es insignificante en comparación con la cara frontal, por lo que incluso teóricamente no hay ningún beneficio que puedas obtener del CMB, así que ríndete.
