La escuela secundaria de doble lente óptica pregunta

Question

Este es el primer año de la escuela secundaria la tarea de la pregunta (en finlandés de la escuela secundaria), y estoy teniendo serios problemas para resolver. Pido disculpas por la posible falta de términos estándar: estoy haciendo la traducción del finlandés al inglés y todas las palabras puede no ser la manera en que sería en inglés un libro de física.

Esto fue publicado originalmente a las matemáticas. El párrafo siguiente no se aplica después de la mudanza: (soy consciente de que esta es la Matemática y no la Física stackexchange. Me decidí a preguntar esto aquí, porque creo que mi problema radica principalmente en la matemática de la ejecución y no la comprensión de la física. Las matemáticas también parece significativamente más activo, y así mejorar mis posibilidades de obtener una respuesta. Si lo que se requiere o recomienda, voy a copiar esto en la Física y la quite desde aquí o salir de él, lo que se desea.)

La pregunta:

Una lente convexa crea una imagen real de un objeto en el eje principal, $85.0$ cm del objeto. Cuando una lente cóncava se coloca entre el objeto y la lente convexa, $65.0$ cm del objeto, la imagen se mueve a $140.0$ cm del objeto. ¿Cuál es la longitud focal de la lente cóncava?

Ninguna otra información que se da.

El conocimiento de la ecuación de $1/a + 1/b = 1/f$ es asumido, así como el modo multi-objetivo de los sistemas de trabajo (la imagen de un anterior de la lente es el objeto de la siguiente lente)

Me he acercado al problema mediante la creación de tres lentes ecuaciones:

$1/a_1 + 1/b_1 = 1/f_1$ donde $a_1$ es la distancia del objeto a la lente convexa, $b_1$ es la distancia desde la lente convexa a la primera imagen, y $a_1 + b_1 = 85$ cm

$1/a_2 + 1/b_2 = 1/f_2$ donde $a_2 = 65.0$ cm es la distancia del objeto a la lente cóncava y $b_2$ es la distancia desde la lente cóncava a la falsa imagen producida

$1/a_3 + 1/b_3 = 1/f_3$ donde $a_1$ es la distancia desde la falsa imagen a la lente convexa, $b_3$ es la distancia desde la lente convexa a la (segunda) imagen real y $f_3 = f_1$, ya que es el mismo objetivo

Además, hay un par de ecuaciones geométricas que se pueden extraer:

$$\begin{align*} &a_1 + b_3 = 140 \text{ cm}\\ &a_2 - b_2 + b_3 + b_3 = 140 \text{ cm} \end{align*}$$

lo que conduce a:

$$b_2 = a_2 + a_3 - a_1$$

Sé que la clave es calcular el $b_2$, pero no está demostrando ser difícil. El más lejano que tengo por la combinación de las $b_2$ ecuación anterior y $f_1 = f_3$ es

$$b_2=\frac{a_3(140\text{ cm}-a_1)}{a_1(85\text{ cm}-a_1)}\cdot 85\text{ cm}-75\text{ cm}$$

Sin embargo, todavía hay $2$ incógnitas, que es $2$ demasiado. Tengo la sensación de que no estoy viendo algunos geométrica de ecuaciones que de alguna manera me permiten calcular los valores de $a_1$$a_3$. También es posible que la redacción permite la suposición de que la segunda imagen real es igual en tamaño a la primera imagen real, pero 1) no veo que ayudar demasiado y 2) de la forma en que está redactado en finlandés no me atrevería a hacer esa suposición en un examen, por ejemplo.

La respuesta correcta, según el libro, es $f_2 = -27.3$ cm.

Cualquier sugerencias de lo que para tratar de bienvenida, así como una solución más completa. He tratado de resolver esto por lo menos dos horas, la comprobación de que cada geométrica de las relaciones que puedo pensar y en general tratando de manipular las distintas ecuaciones de una manera que me ayudara a conseguir adelante.

Answer 1

Creo que tenemos que asumir que la cóncava de la lente está colocada en contra de la lente convexa, ambos de los cuales se $65$ cm del objeto. De lo contrario, no hay suficiente información dada a resolver el problema.

Sugerencia:

Cuando las lentes son el uno contra el otro, sus puntos fuertes (los recíprocos de sus longitudes focales) se agregan. Por lo tanto,

$$ \frac{1}{65\text{cm}}+\frac{1}{20\text{cm}}=\frac{1}{f_{\text{convexo}}} $$

$$ \frac{1}{65\text{cm}}+\frac{1}{75\text{cm}}=\frac{1}{f_{\text{convexo}}}+\frac{1}{f_{\text{cóncava}}} $$

Answer 2

Tienes razón, no hay suficiente información para resolver el problema. Usted puede ver esta considerando una de las variables a ser un indeterminado pero valor conocido, y la resolución de las ecuaciones en términos de la variable. Por ejemplo, supongamos que la distancia desde el objeto original a la lente convexa ser $x$, y, a continuación, se puede resolver para la longitud focal de la lente cóncava como una función de la $x$. (Voy a omitir que la solución real, de modo que usted puede hacer para la práctica). Cuando usted hace esto, usted puede, a continuación, enchufe en algunos valores de la muestra de $x$ y ver qué tipo de resultados salen. En este caso, usted encontrará que cualquier valor de $x$ $65\text{ cm}$ $75\text{ cm}$ los rendimientos de una respuesta válida para la longitud focal de la lente cóncava, y el rango de estos valores es$-27.27\text{ cm}$$0\text{ cm}$. Con la información dada, no hay nada que le permite identificar cualquier valor en el rango como la respuesta correcta.