Cómo demostrar que $\angle BEH=\angle CEH$

Question

En triángulo $\Delta ABC$ , dejemos que $M$ sea el punto medio de $BC$ . Denote los pies de las perpendiculares de $C$ a $AB$ y $B$ a $AC$ por $D$ y $F$ respectivamente. Además, dejemos que $H$ sea el ortocentro de $\Delta ABC$ y $G$ denotan la intersección de las líneas $AH$ y $DF$ . Ampliar $MG$ para cumplir con el círculo de $\Delta ADF$ ---cuyo centro $O$ es el punto medio de $AH$ ---en $E$ . Demostrar que $\measuredangle BEH=\measuredangle CEH$ .

Answer 1

Pensé que por qué no resolver un problema de geometría por nostalgia y curiosidad de si aún recordaba los teoremas. Resulta que sí, pero la solución es bastante larga y pesada. Sólo esbozo los detalles y asumo la familiaridad con los polos y polares y las relaciones cruzadas en líneas y círculos.

Paso 1: Dejemos que $k$ sea la circunferencia de $\triangle ADF$ . Sabemos que este círculo $k$ es el círculo con diámetro $AH$ y pasa por $E$ . Así, $EA\perp EH$ .

Lema 1. Dejemos que $u$ , $v$ , $p$ y $q$ son cuatro líneas distintas que pasan por un punto común $P$ . Supongamos que $p\perp q$ . Entonces, $p$ y $q$ son las dos bisectrices del ángulo (interno y externo, en algún orden) del ángulo entre las líneas $u$ y $v$ si y sólo si las líneas $p$ y $q$ son armónicos con respecto a $u$ y $v$ .

Esto es un hecho estándar y no debería ser difícil de probar. Es lo que permite utilizar las relaciones cruzadas para verificar las bisecciones de ángulos.

Tenemos que demostrar que $\measuredangle BEH = \measuredangle CEH$ . En otras palabras, tenemos que demostrar que $EH$ es una bisectriz del ángulo entre las líneas $BE$ y $CE$ . Por el lema 1 (aplicado a $u=BE$ , $v=CE$ , $p=EA$ , $q=EH$ y $P=A$ ), esto se reduce a demostrar que las líneas $EA$ y $EH$ son armónicos con respecto a $BE$ y $CE$ .

Paso 2: Recordemos el siguiente hecho:

Lema 2. Dejemos que $m$ sea un círculo, y $X$ , $Y$ , $Z$ , $W$ sean cuatro puntos en $m$ . Entonces, la polar del punto $XZ\cap YW$ con respecto a $m$ es la línea que une los puntos $XY\cap ZW$ y $YZ\cap WX$ .

Aplicando el lema 2 a $m=k$ , $X=A$ , $Y=F$ , $Z=H$ y $W=D$ concluimos que la polar del punto $G$ con respecto al círculo $k$ es la línea que une los puntos $C$ y $B$ . En otras palabras, la polar del punto $G$ con respecto al círculo $k$ es la línea $BC$ .

Paso 3: Dejemos que $E'$ sea el punto de intersección de la línea $MG$ con el círculo $k$ distinto de $E$ . (Nota heurística: Cuando un problema introduce un punto de intersección de una recta con una circunferencia, piensa siempre en el otro punto. Esto es similar, y está relacionado, con el estudio de una raíz de un polinomio utilizando las otras raíces). Entonces, $AH\cap EE'=G$ . Ahora, el lema 2, aplicado a $m=k$ , $X=A$ , $Y=E'$ , $Z=H$ y $W=E$ , resulta que la polar del punto $G$ con respecto al círculo $k$ es la línea que une los puntos $AE'\cap HE$ y $E'H\cap EA$ . Como ya sabemos que esta polar es la línea $BC$ Esto se reescribe de la siguiente manera: La línea $BC$ es la línea que une los puntos $AE'\cap HE$ y $E'H\cap EA$ . Por lo tanto, $AE'\cap HE\in BC$ y $E'H\cap EA\in BC$ .

Paso 4: Recordemos que tenemos que demostrar que las líneas $EA$ y $EH$ son armónicos con respecto a $BE$ y $CE$ . Al cruzar todas las líneas con $BC$ esta tarea se transforma en demostrar que los puntos $EA\cap BC$ y $EH\cap BC$ son armónicos con respecto a $B$ y $C$ . Pero como $EA\cap BC = E'H\cap BC$ (esto se desprende de $E'H\cap EA\in BC$ ), esto se transforma en demostrar que los puntos $E'H\cap BC$ y $EH\cap BC$ son armónicos con respecto a $B$ y $C$ . Si sustituimos estos puntos por las líneas que los unen con $H$ vemos que esto equivale a demostrar que las líneas $E'H$ y $EH$ son armónicos con respecto a $BH$ y $CH$ .

Paso 5: Un último lema ahora:

Lema 3. Dejemos que $m$ sea un círculo, y que $P$ , $U$ y $V$ sean tres puntos en $m$ . Sea $\ell$ sea una línea que pasa por el polo de $UV$ con respecto a $m$ . Sea $\ell$ intersectan el círculo $m$ en dos puntos $S$ y $S'$ . Entonces, las líneas $S'P$ y $SP$ son armónicos con respecto a $UP$ y $VP$ .

Este lema no es difícil de demostrar; tal vez lo reconozcas como una equivalencia entre dos de las diversas caracterizaciones de los cuadriláteros armónicos. He aquí una prueba rápida del lema 3 utilizando cocientes cruzados sobre círculos (es cierto que no es el tipo de cociente cruzado más conocido, pero es demasiado útil para evitarlo aquí):

Dejemos que $Q$ sea el polo de $UV$ con respecto a $m$ . Sabemos que $Q\in \ell$ . También sabemos, por una de las propiedades básicas de los polos, que las líneas $QU$ y $QV$ tocar el círculo $m$ en $U$ y $V$ respectivamente. En particular, la línea $QU$ toca $m$ en $U$ . Una forma algo extraña de reescribir este hecho es decir que el segundo punto de intersección de la recta $QU$ con $m$ aparte de $U$ es $U$ (ya que los puntos de tangencia se consideran naturalmente como dobles puntos de intersección). Ahora, dejemos que $Z$ sea el punto $\ell \cap UV$ . Por un hecho bien conocido sobre los polares, los puntos $Q$ y $Z$ son armónicos con respecto a $S$ y $S'$ . De forma equivalente, los puntos $S'$ y $S$ son armónicos con respecto a $Q$ y $Z$ . En otras palabras, las líneas $S'U$ y $SU$ son armónicos con respecto a $QU$ y $ZU$ (aquí, acabamos de conectar cada punto con $U$ ). Ahora, proyectando esta relación cruzada sobre el círculo $m$ desde el punto $U$ concluimos que los puntos $S'$ y $S$ son armónicos con respecto a $U$ y $V$ en $m$ (ya que el segundo punto de intersección de las líneas $ZU$ con $m$ aparte de $U$ es $V$ y el segundo punto de intersección de la línea $QU$ con $m$ aparte de $U$ es $U$ ). Mirando esta relación cruzada desde el punto $P$ (que se encuentra en $m$ ), lo reescribimos como sigue: Las líneas $S'P$ y $SP$ son armónicos con respecto a $UP$ y $VP$ . El lema 3 queda demostrado.

Paso 7: Concluyamos ahora la solución. Tenemos $OD\perp MD$ (una consecuencia, por ejemplo, del hecho de que $OM$ es un diámetro del círculo de nueve puntos de $\triangle ABC$ mientras que $D$ se encuentra en este círculo). Por lo tanto, $M$ se encuentra en la tangente a $k$ en $D$ . De la misma manera, $M$ se encuentra en la tangente a $k$ en $F$ . En conjunto, $M$ es, por tanto, el punto donde la tangente a $k$ en $D$ interseca la tangente a $k$ en $F$ . Así, $M$ es el polo de $DF$ con respecto a $k$ . La línea $MG$ pasa a través de $M$ y se cruza con $k$ en $E$ y $E'$ . Por lo tanto, el lema 3 (aplicado a $m=k$ , $P=H$ , $U=D$ , $V=E$ y $\ell = MG$ ) resulta que las líneas $E'H$ y $EH$ son armónicos con respecto a $DH$ y $EH$ . En otras palabras, las líneas $E'H$ y $EH$ son armónicos con respecto a $CH$ y $BH$ . En otras palabras, las líneas $E'H$ y $EH$ son armónicos con respecto a $CH$ y $BH$ . Hemos terminado.

Answer 2

Dejemos que $P$ sea el polo de $MG$ con respecto a $(O)$ (es decir, la circunferencia de $\Delta ADF$ ). $P$ debe ser el conjugado armónico de $G$ con respecto a $DF$ lo que implica que $P$ es de hecho la intersección de $DF$ y $BC$ . Desde $P$ era el polo de $MG$ con respecto a $(O)$ y $MG$ se cruza con $(O)$ en $E$ , $PE$ debe ser tangente a $O$ . Llamemos a esta tangente $T$ . Los hechos que $DFCB$ es cíclica y las líneas $DF$ , $BC$ y $T$ coinciden en $P$ implica que $PE$ también es tangente a la circunferencia de $\Delta EBC$ a la que nos referimos como $(O')$ . En consecuencia, hay una homotecia con respecto a $E$ mapas $(O)$ a $(O')$ . Ahora dejemos que $B'$ y $C'$ denotan la intersección de $EB$ y $EC$ con $(O)$ respectivamente. Entonces $B'C'$ es paralelo a $BC$ y $AH$ es la bisectriz perpendicular. Así, $H$ es el punto medio del arco $B'HC'$ en $(O)$ que es el resultado deseado.