Sé cómo demostrar la contabilidad de los conjuntos utilizando relaciones de equivalencia con otros conjuntos, pero no estoy seguro de cómo demostrar la incontabilidad de los números trascendentales (es decir, los números que no son algebraicos).
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fastauntie
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36
Si un número $t$ es algebraico, es la raíz de algún polinomio con coeficientes enteros. Sólo hay un número contable de polinomios de este tipo (cada uno con un número finito de raíces), por lo que sólo hay un número contable de $t$ . Puesto que hay un número incontable de números reales (o complejos), y sólo un número contable de ellos son algebraicos, un número incontable de ellos deben ser trascendentales.
DanV
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281
Si se acepta la premisa de que $|\mathbb R| = |P(\mathbb N)|$ entonces sabes que es incontable, debido al teorema de Cantor.
Tomemos todos los polinomios en números racionales, cada uno de los cuales sólo tiene un número finito de raíces en $\mathbb R$ .
Como el conjunto de polinomios es equivalente a $\bigcup_{n\in\mathbb N} \mathbb Q^n$ (la unión de los polinomios de todos los grados), que es contable, sólo tienes un número contable de posibles raíces para todos los polinomios racionales y, por tanto, sólo un número contable de números algebraicos.
Ahora considere $\mathbb R\setminus A$ donde $A$ es el conjunto de todos los números algebraicos, si no fuera incontable entonces $\mathbb R = \mathbb R\setminus A\cup A$ que fuera la unión de dos conjuntos contables, que entonces serían contables.
Oli
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89
Hay una forma más teórica de ver el asunto, que se remonta al trabajo de Liouville.
Demostró, entre otras cosas, que un número cuya expansión decimal está formada por $0$ s y $1$ s, de manera que el número de $0$ s entre los consecutivos $1$ s crece más rápido que cualquier polinomio, debe ser trascendental.
El ejemplo estándar es la Constante de Liouville, con la $n$ -siendo la longitud de la brecha $n!$ .
Es fácil producir un número continuo de números trascendentales del tipo Liouville.
La razón por la que el resultado es digno de mención es que surge del examen de la aproximabilidad de los números algebraicos por los racionales, un tema con una larga y gloriosa historia.
El resultado de aproximabilidad requerido tiene una demostración bastante rápida que sólo utiliza matemáticas de nivel de secundaria.
