@mixedmath @P Vanchinathan
Uno puede generar un campo con 125 elementos, tomando los poderes Mn de un determinado 3×3 matriz M con coeficientes en F5 de fin de 124.
Edit: con el fin De ser explícito, consideremos la matriz
M=(001200011)
Cayley Hamilton teorema aplicado a M le da: M3=2I3+M2 (1).
Deje R ser el anillo de 3×3 matrices con coeficientes en F5 (con lo ordinario de la adición y de la multiplicación de matrices).
El subconjunto S de las matrices de la forma aI3+bM+cM2 (para cualquier a,b,c∈F5) es un sub-anillo de R (por aplicación de (1) para la estabilidad de la multiplicación).
El represention de un elemento de S bajo la forma aI+bM+cM2 es único. De lo contrario, la identidad de la forma aI+bM+cM2=a′I+b′M+c′M2 (donde (a,b,c)≠(a′,b′,c′)) podría inferir la existencia de un polinomio de grado a lo más 2 que aniquila matriz M, y se puede comprobar que no hay tal "mínima" polinomio de existir.
Como consecuencia de ello S es en bijective correspondencia con F35, 5×5×5=125 elementos.
Vamos ahora a considerar la posibilidad de establecer S′ se define como el conjunto de todas las potencias Mn que son claramente elementos de S utilizando de forma iterativa (1)).
De hecho, S=S′∪{0} (donde 0 es nulo de la matriz).
De hecho, en una mano S′ está incluido en S debido a que, por sucesivas aplicaciones de (1), se puede bajar cualquier polinomio en M a un mayor grado 2 polinomio.
Y, por otro lado, uno puede comprobar que M tiene orden de 124 (ciertamente, puede ser demostrado mediante la correspondencia entre matrices y irreductible - polinomio a través del concepto de compañero de la matriz).
Así S=S′ menos 0 es un (cíclica) de grupo para la multiplicación.
Por lo tanto, S es un campo con 125 elementos.
(todo esto en conformidad con el hecho de que un campo finito es conmutativa, y tiene un ciclo de multiplicación de grupo).
Ver esta referencia;