Campo con $125$ elementos

Question

Quiero construir un campo con $125$ elementos. Mi idea es considerar el polinomio anillo de $\Bbb F_5[x]$. Es suficiente para encontrar un polinomio irreducible $f\in \Bbb F_5[x]$ grado $3$ porque $\Bbb F_5[x]/(f)$ es un campo con exactamente $5^3=125$ elementos.

¿Cómo puedo encontrar un polinomio irreducible de grado $3$$\Bbb F_5[x]$?

Answer 1

Si un polinomio cúbico de $\mathbb{F}_5[x]$ es reducible, entonces se divide en un factor linear y un factor cuadrático o en el producto de tres factores lineales. Lineal factores son muy fáciles de probar, como $(x-a)$ es un factor de $f$ si y sólo si $f(a) = 0$.

Así que usted puede elegir una al azar grado $3$ polinomio y prueba de los cinco posibles raíces.

Por ejemplo, estoy tentado a probar $f(x) = x^3 + 2x + 1$. Entonces $$\begin{align} &f(0) = 1, \\ &f(1) = 4, \\ &f(2) = 8 + 4 + 1 \equiv 3, \\ &f(3) = 27 + 6 + 1 \equiv 4, \\ &f(4) = 64 + 8 + 1 \equiv 3. \end{align}$$

Como ninguno de estos son cero, $f(x)$ es una irreductible cúbicos.

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Tenga en cuenta que las pruebas de raíces explícitamente no funciona para un mayor grado de los polinomios. Es posible que un reducible cuártica de los factores en el producto de dos cuadráticas. Así, a pesar de que no hay raíces, todavía puede ser reducible. Sin embargo, ya sabemos que un reducible cúbicos tiene una relación lineal factor, se puede probar para el factor linear.

Answer 2

El método dado por mixedmath es correcta. En la ilustración el azar polinomio seleccionada resultó ser irreductible. En general, puede que tenga que probar muchos aleatorio antes de convertirse en la suerte.

En lugar de intentar algo salvajemente al azar restringir a las personas que cumplen criterio de Eisenstein. (porque algo que es reducible más números enteros es que no nos va a ayudar). Como estamos trabajando mod 5 tratemos de primer coeficientes de menos de 5.

Prueba 1: $x^3+2x+2$. Este polinomio se evalúa a cero en 1.

Prueba 2: Ahora vamos a tratar de $g(x)=x^3+3x+3$. Ahora $g(0) =1$ $$g(1)=2$$ $$g(2)=2$$ $$g(3)=4$$ $$g(4)=1$$ Así que, usando el mismo razonamiento de mixedmath llegamos a un polinomio irreducible.

Answer 3

@mixedmath @P Vanchinathan

Uno puede generar un campo con 125 elementos, tomando los poderes $M^n$ de un determinado $3 \times 3$ matriz $M$ con coeficientes en $\mathbb{F}_5$ de fin de 124.

Edit: con el fin De ser explícito, consideremos la matriz

$$M = \begin{pmatrix}0&0&1\\2&0&0\\0&1&1 \end{pmatrix}$$

Cayley Hamilton teorema aplicado a $M$ le da: $M^3=2I_3+M^2 \ \ (1)$.

Deje $R$ ser el anillo de $3 \times 3$ matrices con coeficientes en $\mathbb{F}_5$ (con lo ordinario de la adición y de la multiplicación de matrices).

El subconjunto $S$ de las matrices de la forma $aI_3+bM+cM^2$ (para cualquier $a,b,c \in \mathbb{F}_5$) es un sub-anillo de $R$ (por aplicación de (1) para la estabilidad de la multiplicación).

El represention de un elemento de $S$ bajo la forma $aI+bM+cM^2$ es único. De lo contrario, la identidad de la forma $aI+bM+cM^2=a'I+b'M+c'M^2$ (donde $(a,b,c) \neq (a',b',c')$) podría inferir la existencia de un polinomio de grado a lo más 2 que aniquila matriz $M$, y se puede comprobar que no hay tal "mínima" polinomio de existir.

Como consecuencia de ello $S$ es en bijective correspondencia con $\mathbb{F}_5^3$, $5 \times 5 \times 5 = 125$ elementos.

Vamos ahora a considerar la posibilidad de establecer $S'$ se define como el conjunto de todas las potencias $M^n$ que son claramente elementos de $S$ utilizando de forma iterativa (1)).

De hecho, $S=S'\cup \{0\}$ (donde 0 es nulo de la matriz).

De hecho, en una mano $S'$ está incluido en $S$ debido a que, por sucesivas aplicaciones de (1), se puede bajar cualquier polinomio en $M$ a un mayor grado 2 polinomio. Y, por otro lado, uno puede comprobar que $M$ tiene orden de 124 (ciertamente, puede ser demostrado mediante la correspondencia entre matrices y irreductible - polinomio a través del concepto de compañero de la matriz).

Así $S$=$S'$ menos ${0}$ es un (cíclica) de grupo para la multiplicación.

Por lo tanto, $S$ es un campo con 125 elementos.

(todo esto en conformidad con el hecho de que un campo finito es conmutativa, y tiene un ciclo de multiplicación de grupo).

Ver esta referencia;