La versión más general de este teorema en "Topología" de Munkres (p. 290 - 2ª edición) afirma que
Dado un espacio de Hausdorff localmente compacto $X$ y un espacio métrico $(Y,d)$ una familia $\mathcal F$ de funciones continuas tiene un cierre compacto en $\mathcal C (X,Y)$ (topología de convergencia compacta) si y sólo si es equicontinua bajo $d$ y los conjuntos
$$ \mathcal F _a = \{f(a) | f \in \mathcal F\} \qquad a \in X$$
tienen un cierre compacto en $Y$ .
Ahora no veo por qué la condición de Hausdorff en $X$ ¿es necesario? ¿Por qué incluirlo entonces? ¿Acaso se me escapa algo (y hay contraejemplos)?
Por cierto, si estás buscando la prueba: La Hausdorffness es necesaria para el mapa de evaluación $e: X \times \mathcal C(X,Y) \to Y, \, e(x,f) = f(x)$ para ser continua. Pero lo único que realmente se utiliza en la prueba es la continuidad de $e_a: \mathcal C(X,Y) \to Y, \, e_a(f) = f(a)$ por el hecho de ser fijo $a \in X$ .
Saludos, S.L.
