Mixto de los espacios de Lebesgue: información necesaria

Question

Deje $\Omega_t$ $\Omega_x$ dos $\sigma$-finito medir los espacios. Si hace las cosas más fáciles que podemos asumir que $\Omega_t$ es un intervalo y $\Omega_x$ algunas espacio Euclidiano. Para cada medibles $f\colon \Omega_t \times \Omega_x \to \mathbb{C}$ definir

$$\lVert f(t, x) \rVert_{L^p_t L^q_x}=\left[\int_{\Omega_t}dt \left(\int_{\Omega_x} \lvert f(t, x) \rvert^q\, dx\right)^\frac{p}{q}\right]^{\frac{1}{p}}.$$

Me gustaría obtener información sobre el espacio resultante $L^p_t L^q_x(\Omega_t \times \Omega_x)$, especialmente:

• Con qué otro nombre es conocido?
• Es el producto de algunos canónica de la construcción? Hay una evidente forma de demostrar que está completa (si es verdad)?
• Hay alguna relación entre la $\lVert f(t, x) \rVert_{L^p_t L^q_x}$$\lVert f(t, x) \rVert_{L^q_x L^p_t}$? ¿Bajo qué circunstancias las que coinciden?

Estoy especialmente después de alguna referencia, pero las respuestas de cualquier otro tipo (pruebas, indicios, conjeturas) son bienvenidos. Gracias.

Answer 1

Para el punto 1 (nomenclatura): a veces puedes ver que les llaman anisotrópico espacios de Lebesgue, y a veces en las ecuaciones diferenciales parciales de la literatura se les ve llamado Strichartz espacios. La mayoría del tiempo no se han dado los nombres, y en el contexto de la PDE son casi exclusivamente estudiado en $\Omega_t = \mathbb{R}^n$ $\Omega_x = \mathbb{R}^m$ (o subconjuntos de los mismos) con la medida de Lebesgue. Hace un tiempo hice una búsqueda en la literatura, y por desgracia no se parece mucho a mí mismo fuera de la PDE de la literatura en estos espacios.

Para el punto 2 (integridad): tal vez a través de Banach-espacio de funciones con valores? Realmente no he pensado demasiado sobre esto.

Para el punto 3 (invirtiendo el orden de integración): por lo general, no coinciden (usando la desigualdad de Minkowski puede mostrar que uno incrusta en el otro al $p\neq q$, y un contraejemplo para la inversa de la desigualdad se extiende a un contraejemplo de la inversa de la incrustación), excepto cuando se $p = q$, lo que sigue a partir de Fubini. Tenga en cuenta que en ciertos casos (por ejemplo el $\ell^p$ norma sobre finito dimensionales espacios vectoriales interpretarse como una atómica medida en $n$ puntos) la equivalencia global de $L^p$ $L^q$ como normas implica la coincidencia de los espacios, por lo que cualquier caracterización necesita tener algunas hipótesis adicionales.

Answer 2

Los espacios de $L^p_tL^q_x$ son casos especiales de la más general de Bochner espacios de $L^p(\Omega;X)$ que son espacios de Banach, en general, y cuyo doble espacio está dado por $L^{p^\prime}(\Omega;X^\prime)$ $1<p<\infty$ siempre $X$ tiene el Radon-Nikodym de la propiedad, por ejemplo, si $X$ es reflexiva.

Un muy buen tratamiento de estos espacios y la integral de Bochner se da por ejemplo en el Vector de valores de transformadas de Laplace y Cauchy Problemas por Arendt, Batty, Hieber, Neubrander.

Por lo que yo sé, también se puede interpretar $L^p(\Omega;X)$ (proyectiva) producto tensor de $L^p(\Omega)$$X$.

Edit: El último párrafo se sostiene solamente por $p=1$, ver los comentarios de abajo.