Interpretación física: ponderado de los valores propios de la Laplaciano con un potencial de

Question

Ya he publicado esta pregunta en la Física.SE, pero me thougth podría ser útil pedir también aquí.

No hay problema si los moderadores me pida que cancelar este hilo... Pero, por favor, ten piedad! :-D

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Deje $\Omega \subseteq \mathbb{R}^N$ ser un dominio y deje $V,m:\Omega \to \mathbb{R}$ dos medibles y suficientemente summable funciones.

Cuando uno considera que el autovalor problema para el operador $\mathcal{L}:=-\Delta +V$ w.r.t. el peso de la $m$, es decir: $$\etiqueta{P} \begin{cases} -\Delta u(x) + V(x)\ u(x) = \lambda\ m(x)\ u(x) &\text{, in } \Omega\\ u(x)=0 &\text{, on } \partial \Omega , \end{casos}$$ la función de $V$ es generalmente llamado potencial y la función de $m$ se llama peso.

Entonces, de un promedio ponderado de autovalor de a $\mathcal{L}$ w.r.t. $m$ es cualquier número $\lambda \in \mathbb{R}$ s.t. (P) tiene al menos un trivial solución débil $u\in H_0^1(\Omega)$, es decir: $$\forall \phi \in C_c^\infty(\Omega),\quad \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla \phi\ \text{d} x + \int_\Omega V\ u\ \phi\ \text{d} x = \lambda\ \int_\Omega m\ u\ \phi\ \text{d} x\; .$$

Mis preguntas son:

1. Hay alguna razonable interpretación física de los autovalores? Y ¿qué es?

2. Por qué las funciones de $V$ $m$ esos nombres?

Además, he oído que el $p$-laplaciano (es decir, $\Delta_p u := \operatorname{div} (|\nabla u|^{p-2}\ \nabla u)$, que se reduce a la habitual laplaciano al $p=2$) puede ser utilizado para el modelo no lineal de la elasticidad o algo así; por lo tanto, también tengo la siguiente pregunta:

¿Qué acerca de cualquier posible significado físico de la no lineal ponderada de los autovalores viene el problema: $$\etiqueta{Q} \begin{cases} -\Delta_p u(x) + V(x)\ |u(x)|^{p-2}\ u(x) = \lambda\ m(x)\ |u(x)|^{p-2}\ u(x) &\text{, in } \Omega\\ u(x)=0 &\text{, on } \partial \Omega , \end{casos}$$ donde $1 < p < \infty$?

Muchas gracias de antemano, chicos!

Answer 1

El lado izquierdo $-F=-\Delta u + Vu$ modelos de fuerza en un material donde los puntos de tratar de sacar a sus vecinos hacia su valor local como un resorte manera, pero también arrastrado por una fuerza externa que aumenta linealmente con el desplazamiento (por ejemplo, otros manantiales o de largo alcance de la gravedad).

Ahora supongamos $m$ es entendido como una masa (densidad), y consideran que la ley de Newton $F=ma=mu_{tt}$. Vemos que la solución de $-\Delta u + Vu=\lambda m u$ es encontrar modos tales que $$-u_{tt}=\lambda u.$$ En otras palabras, los modos que se va a quedar de la misma forma, pero simplemente crecer (complejo)de manera exponencial en el tiempo.

Aquí es un 1-dimensional diagrama:

Edit: Para aclarar, la extensión de la p-laplacean, $\nabla \cdot |\nabla u|^{p-2} \nabla u=\nabla \cdot k(u,x) \nabla u$ modelos de un material donde la fuerza de las moléculas tirando de sus vecinos es p-no lineal en el desplazamiento de gradiente. En otras palabras, los "resortes" en el diagrama de arriba no son los ideales.