Vamos a empezar con las definiciones de las valoraciones.
a) Valoración del anillo (que a veces lo llamo general de valoración de anillo), la definición en el libro;
'La Geometría algebraica' escrito 'Daniel Golpe' en la página 7: "Vamos a $F$ ser un campo. Un sub-anillo $R\subseteq F$ llama un anillo de valoración de $F$ si $0\neq x\in F$ implica que cualquiera de las $x\in R$ o $x^{-1}\in R$. Claramente, a continuación, $F$ es el campo de fracciones de $R$."
"Introducción al Álgebra Conmutativa' escrito 'M. F. Atiyah' y 'I. G. Macdonald' en la página 65: "Vamos a $B$ integrante de dominio, $K$ su campo de fracciones. $B$ es un anillo de valoración de $K$ si, para cada una de las $x\neq 0$, $x\in B$ o $x^{-1}\in B$ (o ambos)." Que es exactamente la definición del libro que estaba utilizando.
'Pregrado Álgebra Conmutativa' escrito 'miles Reid' página 116 (el título no es en GENERAL la VALORACIÓN de los ANILLOS): "Vamos a $A$ integrante de dominio y $K$=Frac$A$ su campo de fracciones. A continuación, $A$ es un anillo de valoración si para cada elemento distinto de cero $x\in K$, $x$ o $x^{-1}\in A$."
De nuevo la definición de su libro.
Geométrica de los Aspectos de Valoración de la Teoría a partir de una nota tomada de conferencias del Prof. Teissier: "Una valoración de anillo es una parte integral de dominio $V$ que si $K$ es su campo de fracción y tenemos $x\in K-V$$x^{-1}\in V$." De nuevo la definición de su libro.
La diferencia de la primera definición y otros es que por la primera, que se lleva a $F=$Frac$R$, como resultado no forma parte de la definición que se me permita dar la primera clase de ejemplos en aquí.
b) Discreta Valoración del anillo, la definición en el libro:
'La Geometría algebraica' escrito 'Daniel Golpe' de la página 57: "Vamos a $F$ ser un campo. Por una discreta valoración en $F$, nos referimos a una función surjective
$\nu : F \twoheadrightarrow \mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ con las propiedades que $\nu(xy)=\nu(x)+\nu(y)$: $\nu(x)=\infty$ si y sólo si $x=0$; y de tal manera que $v(x+y)\geq\min \big(\nu(x),\nu(y)\big)$. En este caso, es claro que $A:=\{x\in F\;:\;\nu(x)\geq 0\}$ es un discreto anillo de valoración de $F$, con la máxima ideal $\mathfrak{m}=\{x\in F\;:\;\nu(x)>0\}$. Un anillo se llama un discreto anillo de valoración en caso de que ocurriera de esta manera de una forma discreta de valoración en su campo de fracciones".
c) (yo llamo a esto la valoración del anillo de la versión generalizada de discreta valoración de anillo), la definición en:
Geométrica de los Aspectos de Valoración de la Teoría a partir de una nota tomada de conferencias del Prof. Teissier: Este es el mismo como discretos valoración anillo con la única deferencia que en lugar de $\mathbb{Z}$ y su nivel habitual de la suma y la orden que podemos tomar todos los pedidos de grupo. Lea la sección "3.1".
Usted también puede encontrar las definiciones de muchos otros lugares, pero yo escribí esos en los que yo mismo uso.
Definir el mapa de $\nu:k[x,y]\longrightarrow \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\alpha$ asignación de $\sum c_{n,m}x^ny^m$$\min\{n+m\alpha\}$. Luego extenderlo a $k(x,y)$ de esta manera que $\nu(\dfrac{f(x,y)}{g(x,y)})=\nu\big(f(x,y)\big)-\nu\big(g(x,y)\big)$ ($f(x,y)$ y $g(x,y)$ son primos entre sí y $g(x,y)\neq 0$). Es suficiente para mostrar que $\nu|_{k[x,y]}$ tiene dos propiedades necesarias, a continuación, se dispone de ellos en el conjunto de la $k(x,y)$.
Deje $f(x,y),f'(x,y)\in k[x,y]$. Usted puede escribir como $f(x,y)=c_{n_0,m_0}x^{n_0}y^{m_0}+\sum c_{n,m}x^ny^m$, $f'(x,y)=c'_{n_0',m_0'}x^{n_0'}y^{m_0'}+\sum c'_{n',m'}x^{n'}y^{m'}$ donde $\nu(f)=n_0+m_0\alpha$, $\nu(f')=n_0'+m_0'\alpha$ y para otros índices $n_0+m_0\alpha<n+m\alpha$, $n_0'+m_0'\alpha<n'+m'\alpha$. Entonces
$$f(x,y)f'(x,y)=c_{n_0,m_0}c'_{n_0',m_0'}x^{n_0+n_0'}y^{m_0+m_0'}+\sum c_{n,m}c'_{n',m'}x^{n+n'}y^{m+m'}$$
y
$$\left.\begin{array}{l}
n_0+m_0\alpha<n+m\alpha\\
n_0'+m_0'\alpha<n'+m'\alpha
\end{array}\right\}\Longrightarrow n_0+m_0\alpha+n_0'+m_0'\alpha<n+m\alpha+n'+m'\alpha$$
$$\Longrightarrow (n_0+n_0')+(m_0+m_0')\alpha<(n+n')+(m+m')\alpha.$$
Por lo tanto,$\nu(ff')=(n_0+n_0')+(m_0+m_0')\alpha=\nu(f)+\nu(f')$.
La segunda es obvia debido a la existencia de $\min$$\nu$:
$$f+f'=c_{n_0,m_0}x^{n_0}y^{m_0}+\sum c_{n,m}x^ny^m+c'_{n_0',m_0'}x^{n_0'}y^{m_0'}+\sum c'_{n',m'}x^{n'}y^{m'}$$
$$\begin{array}{ccc}
\min\{n_0+m_0\alpha,n_0'+m_0'\alpha\} & \leq & \min(\{n_0+m_0\alpha,n_0'+m_0'\alpha\}\cup\{n+m\alpha\}\cup\{n'+m'\alpha\}\\
& \leq & \min(\{n''+m''\alpha\;:\;c_{n'',m''}\neq 0\text{ in }f+f'\}
\end{array}$$
Ahora vamos a $A:=\{h\in k(x,y)\;:\;\nu(h)\geq 0\}$. Primera nota de que
$$1=1.1\Longrightarrow\nu(1)=\nu(1)+\nu(1)\Longrightarrow \nu(1)=0$$
($\nu(1)\in\mathbb{R}$)
$$\begin{array}{ccc}
\forall h\in k(x,y) & : & hh^{-1}=1\\
& & \nu(h)+\nu(h^{-1})=0\\
& & \nu(h^{-1})=-\nu(h)
\end{array}$$
Así que si $h\notin k(x,y)$, $\nu(h)<0$ y $\nu(h^{-1})>0$$h^{-1}\in A$. Así pues, tenemos una valoración anillo de $k(x,y)$.
