Cómo encontrar el mayor número $\lambda(n)$ tales $\sum_{k=1}^{n}|z_{k}|^2\ge\lambda(n)\cdot\min_{1\le k\le n}{|z_{k+1}-z_{k}|^2}$

Question

Assmue que dar el número entero positivo $n$,Hallar la largerst la constante $\lambda(n)$,para cualquier compleja $z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}(z_{i}\neq 0,i=1,2,\cdots n)$,han $$\sum_{k=1}^{n}|z_{k}|^2\ge\lambda(n)\cdot\min_{1\le k\le n}{|z_{k+1}-z_{k}|^2}$$ donde se definen $z_{n+1}=z_{1}$

Este problema es de china TST 2014,

antes de que me han puesto esto simarler problema: Encontrar el mayor $k$ tales $\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_{n-1}^2+x_n^2} \geq k\min(|x_1-x_2|,|x_2-x_3|,\dots,|x_{n-1}-x_n|,|x_n-x_1|)$

y

Cómo encontrar esta desigualdad $\max{\left(\min{\left(|a-b|,|b-c|,|c-d|,|d-e|,|e-a|\right)}\right)}$

De hecho, estos dos problemas diferentes.

tal vez esta idea puede ayudar a resolver este problema? Gracias por tu ayuda

Answer 1

Deje $\mu=min_{1\le k\le n}{|z_{k+1}-z_{k}|^2}$. Al $n$ es incluso, achille hui de la prueba puede ser utilizada de nuevo sin cambios : tenemos

$$ |z_{2k}|^2+|z_{2k+1}|^2 =\frac{|z_{2k}-z_{2k+1}|^2+ |z_{2k}+z_{2k+1}|^2}{2}\geq \frac{|z_{2k}-z_{2k+1}|^2}{2} \geq \frac{\mu}{2} $$

y sumando en $k$ tenemos que $\sum_{k=1}^{n} |z_k|^2 \geq \frac{n\mu}{2}$. Esto se convierte en una igualdad al $z_k=1,z_{2k+1}=-1$ por cada $k$, lo $\lambda(n)=\frac{n}{2}$ cuando $n$ es incluso.

Al $n$ es extraño, sin embargo, achille hui de la prueba utiliza el orden de la real los números que no existen en el $\mathbb C$.