Supongo que mi pregunta general es exactamente lo que está en el título, pero me explico por qué estoy haciendo y cómo llegué a él.
Considerar el ideal de $I=\langle x,y \rangle \subset k[x,y]$ para un campo $k$. Sólo para estar seguro, supongamos $k$ es infinito y de característica cero. A continuación, $I$ no es plana. La prueba se me ocurrió utiliza Lema 6.4 en Eisenbud del "Álgebra Conmutativa", o, equivalentemente, Lema 36.10 en Las Pilas de Proyecto: acaba de darse cuenta de que la relación se $y(x) + (-x)y=0$ es trivial.
Pero luego pensé: parece que este tipo de lógica se extiende a cualquier ideal en $k[X_1,\ldots,X_n]$. Si $I=\langle f_1,\ldots,f_n\rangle$, entonces la relación $$(f_2\cdots f_n)f_1 + (-f_1f_3\cdots f_n)f_2 + \cdots + (-f_1\cdots f_{n-1})f_n = 0 $$ is nontrivial for $n$ even and if $n$ is odd, just replace the last coefficient with $0$. But once I wrote this, I thought this could be applied to any Noetherian ring $R$. So in a Noetherian ring, every ideal is not flat. But this sounds too strong. Since Prufer Domains exist, I think it is indeed wrong (one of the characterizations of a Prufer domain $R$ is that every ideal of $R$ es plana).
Así que creo que voy mal en uno de los pocos lugares. Primero: mi "prueba" de que el $\langle x,y\rangle \subset k[x,y]$ no es plana, está mal y, de hecho, esta relación es trivial. No creo que esto es cierto ya que, el uso de las Pilas del Proyecto de notación, el$y_j \in I$, por lo que debe ser divisible por $x$ o $y$. Entonces querríamos $a_{ij} \in k \subset k[x,y]$ hasta obtener algo parecido a $y=2y + x - x - y$, por ejemplo, ya que de lo contrario $x_i = \sum_j a_{ij} y_j$ es imposible. Pero si $a_{ij} \in k$, entonces no hay forma de $\sum_ia_{ij} f_i = 0$ desde $f_1=y, f_2=-x$. Me doy cuenta de que esto es una especie de handwavy, y, de hecho, esto puede ser la razón por la que estoy confundido, ya que no han formalizado: tal vez no puede ser formalizado.
Segundo, tal vez la prueba es correcta, pero la ampliación de esta y la conclusión de que todos los ideales en $k[X_1,\ldots,X_n]$ no es plana, no tiene. Si este es el caso, ¿alguien puede dar un ejemplo de un ideal que es plana?
Por último, tal vez de todos los ideales en el polinomio anillo no es plana, por las razones arriba, pero tal vez hay anillos que contienen finitely generado ideales que esta lógica no se extiende. Si es así, ¿alguien puede dar un ejemplo?