espacios vectoriales cuya álgebra de endomorphisms es generado por su idempotents

Question

Deje que $V$ $K$-espacio vectorial cuya álgebra de endomorphisms se genera (como $K$-álgebra) por su idempotents.

Es de $V$ es necesariamente finito dimensionales?

EDITAR (Jul 26 '14) estrechamente relacionados con la pregunta:

Hay un campo $K$ y $K$-espacio vectorial cuya álgebra de endomorphisms de es no genera (como $K$-álgebra) por su idempotents?

Answer 1

El álgebra de endomorphisms de cualquier espacio vectorial $V$ es generado por el idempotents.

El finito dimensionales caso es sencillo, así que voy a suponer que $V$ es de infinitas dimensiones. Entonces (suponiendo que el axioma de elección), tenemos $V\cong W\oplus W$ para algún espacio vectorial $W$. De hecho, podemos tomar $W=V$, como un espacio vectorial se determina hasta el isomorfismo por su dimensión y, con el hecho de que $\kappa+\kappa=\kappa$ infinito cardenales $\kappa$, tenemos $$\mathop{dim}(V\oplus V)=\mathop{dim}V+\mathop{dim}V=\mathop{dim}V.$$ Así, $V\cong V\oplus V$.

Escrito $V\cong W\oplus W$, el endomorphisms de $V$ puede ser identificado con el álgebra $M_2(\mathrm{End}(W))$ de $2\times2$ matrices sobre el endomorfismo anillo de $W$. Ahora podemos expresar cualquier elemento de este anillo explícitamente en términos de idempotents, $$\begin{align} \left(\matrix{a&b\\c&d}\right)&=\left(\matrix{a-1&0\\0&0}\right)+\left(\matrix{1&b\\0&0}\right)+\left(\matrix{0&0\\c&1}\right)+\left(\matrix{0&0\\0&d-1}\right)\\ \\ &=\left(\matriz{1 y a-2\\0&0}\right)\left(\matriz{1&0\\1&0}\right)+\left(\matriz{1&b\\0&0}\right)\\ &+\left(\matriz{0&0\\c&1}\right)+\left(\matriz{0&0\\1&d-2}\right)\left(\matriz{0&1\\0&1}\a la derecha). \end{align}$$ [Edit: he sustituido el rhs con Pierre-Yves' mucho más simple variante]. Se puede comprobar que todas las matrices en el lado derecho de la última igualdad se idempotents.

Answer 2

El propósito de este post es demostrar:

(a) Si $R$ es un anillo (es decir, un anillo asociativo con $1$), luego de dos en dos de la matriz con entradas de $R$ es $\mathbb Z$-combinación lineal de productos de dos idempotents.

Prueba: Hemos

$$\begin{align*} \begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}1&a-1\\ 0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\ 1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&b,+1\\ 0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&1\\ 0&0\end{pmatrix}\\ \\ &+\begin{pmatrix}0&0\\ d-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\ 0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\ c+1&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\ 1&0\end{pmatrix}. \end{align*}$$

QED

George Lowther probado:

(b) Si $R$ es un anillo, entonces cualquiera de las dos por dos de la matriz con entradas de $R$ es $\mathbb Z$-combinación lineal de los productos de tres idempotents.

George también explicó que, con el fin de responder a la pregunta, es suficiente para probar:

(c) Si $R$ es un anillo, entonces cualquiera de las dos por dos de la matriz con entradas de $R$ es $\mathbb Z$-combinación lineal de productos de idempotents.

Va de (b) a (a) se reduce el número de factores a partir de tres a dos. Este número no puede ser reducido aún más, porque, como George observó en un comentario, una de dos en dos de la matriz con entradas de $R$ es no , en general, un $\mathbb Z$-combinación lineal de idempotents.

De hecho, para la traza de razones, $$\begin{pmatrix}\frac12&0\\ 0&0\end{pmatrix}$$ es no un $\mathbb Z$-combinación lineal de idempotents de $M_2(\mathbb Q)$.

De hecho, George muestra que, si $R$ es un dominio, entonces la condición de que cualquier matriz de dos por dos con entradas de $R$ es $\mathbb Z$-combinación lineal de idempotents es equivalente a $R$ ser un cociente de $\mathbb Z$.

La pregunta sobre el número mínimo de factores fue criado por Jonas Meyer en un comentario. Las cosas se vuelven más claras si podemos generalizar ligeramente el ajuste.

Deje que $K$ ser un anillo conmutativo y $R$ $K$-álgebra (asociativa con $1$).

Por nuestras consideraciones anteriores, cualquiera de las dos por dos de la matriz con entradas de $R$ es un $K$-combinación lineal de productos de dos idempotents, pero en general no es un $K$-combinación lineal de idempotents.

Decir que $R$ es $K$-bonitoo agradable de más de $K$, si cualquiera de las dos por dos de la matriz con entradas de $R$ es un $K$-combinación lineal idempotents.

Jonas le preguntó si $\operatorname{End}_K(V)$ ($V$ a $K$-espacio vectorial) es de $K$-niza.

También se puede pedir que los anillos son agradables sobre su centro.

En vista de la anterior prueba, $R$ es $K$-bueno si y sólo si la matriz de la forma $$\begin{pmatrix}&0\\ 0&0\end{pmatrix}$$ es un $K$-combinación lineal de idempotents.