Declaración: Sea G un grupo y p un primo que divide a $|G|$ . Demostrar que si $K\le G$ tal que $|K|$ es una potencia de p, K está contenido en al menos un grupo Sylow p.
Acabo de empezar a estudiar los grupos Sylow p, así que aunque estoy familiarizado con los teoremas de Sylow y un par de corolarios, no sé cómo empezar con este problema. Cualquier pista es más que bienvenida.
PD: He buscado algo relacionado aquí en Math.SE pero no he encontrado nada. Lo siento si es un duplicado.
Supongamos que $\,|G|=p^nm\,,\,(p,m)=1$ :
Supongo que ya conoces los siguientes teoremas de Sylow: Sylow $p$ -sbgps. existen en $\,G\,$ todos son conjugados en $\,G\,$ y su número es igual a $\,1\pmod p:$ dejar $\,K\,$ ser un $p$ -sbgp. y dejar $\,\mathcal{P}:=\{P\leq G \mid P\text{ is a Sylow }p\text{-sbgp. of }\, G\}\,$ . Como se ha señalado anteriormente, $\,|\mathcal{P}|\equiv 1\pmod p$ .
Dejemos ahora $K$ actuar $\,\mathcal{P}\,$ por conjugación: $\,k\in K\,,\, P\in\mathcal{P}\Longrightarrow k\cdot P\to k^{-1}Pk=:P^k\,$ . Si existe una órbita con un solo elemento , digamos $\,\mathcal{O}_Q=\{Q\}\,\,,\,\,\text{for some}\,Q\in\mathcal{P}$ entonces $\,Q^k=Q\,\,\forall\,k\in K\Longrightarrow QK=KQ\Longrightarrow QK\,$ es un $p$ -subgrupo de $\,G\,$ Así que si $\,K\,$ es no contenida en cualquier Sylow $p$ -sbgp entonces $\,|QK|>|Q|=p^n\,$ , lo cual es absurdo, por lo que toda la órbita tiene tamaño una potencia de $p$ pero esto significa que $\,|\mathcal{P}|\equiv 0\pmod p$ , lo cual, por supuesto, también es absurdo ya que, como mencionamos anteriormente, $\,|\mathcal{P}|\equiv1\pmod p\Longrightarrow \,$ debe ser que $\,K\,$ está contenida en algún Sylow $p$ -sbgp.
Supongamos que $|G|=p^nm$ , donde $p\nmid m$ . Dejemos que $P$ ser un Sylow $p$ -subgrupo de $G$ y que $\mathscr{C}$ sea el conjunto de cosetas izquierdas de $P$ claramente $|\mathscr{C}|=m$ . Sea $G$ actuar $\mathscr{C}$ de la manera más obvia: $g\cdot aP=(ga)P$ para cada $g\in G$ y $aP\in\mathscr{C}$ .
Supongamos que $g\cdot aP=bP$ Entonces $h\in\operatorname{Stab}_G(bP)$ si $hg\cdot aP=g\cdot aP$ si $g^{-1}hg\cdot aP=aP$ si $g^{-1}hg\in\operatorname{Stab}_G(aP)$ . En particular, $h\in\operatorname{Stab}_G(aP)$ si $a^{-1}ha\in\operatorname{Stab}_G(P)=P$ . Así, $\operatorname{Stab}_G(aP)=aPa^{-1}$ .
Consideremos ahora la restricción de esta acción a $K$ . Para cada $aP\in\mathscr{C}$ tenemos $$\operatorname{Stab}_K(aP)=K\cap\operatorname{Stab}_G(aP)=K\cap aPa^{-1}\;.\tag{1}$$ $|K|$ es una potencia de $p$ , tal y como está $|aPa^{-1}|=p^n$ Así que
$$|\operatorname{Orb}_K(aP)|=\frac{|K|}{|\operatorname{Stab}_K(aP)|}=p^{k(aP)}$$ para algunos $k(aP)\in\Bbb N$ . Las órbitas de la acción de $K$ en $\mathscr{C}$ partición $\mathscr{C}$ Así que $$m=|\mathscr{C}|=\sum_{C\in\mathscr{C}}|\operatorname{Orb}_K(C)|\;.$$
He aquí algunas preguntas para orientarle hacia la finalización del argumento. Si te quedas completamente atascado, lo he terminado debajo de las preguntas pero lo he dejado protegido con spoilers; pasa el ratón por encima para verlo.
Si $k(C)$ fueron positivos para cada $C\in\mathscr{C}$ , $m$ sería un múltiplo de $p$ . No lo es, así que debe haber al menos una $aP\in\mathscr{C}$ tal que $|\operatorname{Orb}_K(aP)|=p^0=1$ y por lo tanto $K=\operatorname{Stab}_K(aP)=K\cap aPa^{-1}$ por $(1)$ . Pero entonces $K\subseteq aPa^{-1}$ , donde $aPa^{-1}$ es un $p$ -Silow subgrupo de $G$ .
Este es otro enfoque. Usted quiere mostrar para cualquier $p$ -subgrupo $K$ , $K\subseteq aPa^{-1}$ donde $P$ es un Sylow $p$ -subgrupo y $a\in G$ . Dejemos que $X=\{aP \mid a\in G\}$ sea el conjunto de cosetas izquierdas de $P$ en $G$ . Ahora dejemos que $K$ actuar $X$ de la siguiente manera $k \cdot(aP)=(ka)P$ .
Dejemos que $|G|=p^n m$ donde $p \nmid m$ sabemos que $|P|=p^n$ desde $P$ es un Sylow $p$ -subgrupo. Tenga en cuenta que $[G:P]=|X|= \displaystyle\frac {|G|}{|P|}=m$ entonces $p \nmid |X|$ . También sabemos que si un $p$ -el grupo actúa sobre un conjunto $X$ entonces $p\mid |X|-|X_f|$ donde $X_f$ es el conjunto fijo bajo la acción (puedo proporcionar la prueba si es necesario). Pero $p \nmid |X|$ entonces $p \nmid |X_f|$ (por lo demás $p \mid |X|-|X_f|+|X_f|=|X|$ que es una contradicción) entonces $|X_f|\not= 0$ entonces hay un elemento $aP\in X$ tal que $k(aP)=P \ \forall\ k\in K$ . $kaP=aP \implies a^{-1}(ka) \in P \implies k\in aPa^{-1}$ para todos $k\in K$ por lo que $K \subseteq aPa^{-1}$ .
Como nota al margen, puedes usar esto como lema para demostrar el segundo teorema de Sylow.
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