Restringido igualdad que involucran números primos

Question

Dados tres números reales tales que a $a + b + c = 0$, se puede demostrar que \begin{align*} \frac{a^{5} + b^{5} + c^{5}}{5} & = \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3}\cdot \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2}\\ \frac{a^{7} + b^{7} + c^{7}}{7} & = \frac{a^{5} + b^{5} + c^{5}}{5}\cdot \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2} \end{align*} De allí, me gustaría preguntar: dados tres números reales bajo la misma restricción como los de arriba y los números primos $p_{2} = p_{1} + 2$, por lo que de ellos hace la siguiente ecuación:se \begin{align*} \frac{a^{p_{2}} + b^{p_{2}} + c^{p_{2}}}{p_{2}} & = \frac{a^{p_{1}} + b^{p_{1}} + c^{p_{1}}}{p_{1}}\cdot \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2} \end{align*} Gracias de antemano.

Answer 1

$p=3,5$ son las únicas soluciones posibles.

Para comprobar esto, sustituto $a=2, \ b,c=-1$.

Entonces $\displaystyle \frac{2^{p+2}-2}{p+2}=3\frac{2^p-2}{p}$.

Esta ecuación puede (después de un poco de esfuerzo) puede reescribirse como $2^p(p-6)=-4p-12$.

La izquierda sólo puede ser negativo si $p<6$.