Es $z\cdot\sin(z)$ (función de $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ ) surjective?

Question

Sabemos por el teorema de Picard que cualquier función entera es o bien constante, o bien suryectiva, o bien falla sólo en un punto.

Es fácil observar que $\sin{z}$ , $\cos{z}$ son suryentes.

Es $f \cdot g$ suryectiva si $f$ y $g$ ¿son enteros y surjetivos? Efectivamente, es cierto cuando $f$ y $g$ son polinomios.

¿Existe una caracterización de las funciones enteras que faltan a un punto y de las funciones enteras suryentes? ¿O alguna relación entre ellas?

Answer 1

Para cualquier función entera no constante que satisfaga: $$\overline{f(z)} = f(\bar{z}) \quad\text{ and }\quad f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\tag{*}$$ $f$ será una suryección.

Si $f$ es un polinomio, entonces es suryente por el teorema fundamental del álgebra. Si $f$ no es ni polinómico ni suryente, entonces por Picard, $f$ evita un único $\alpha \in \mathbb{C}$ . Desde $\overline{f(z)} = f(\bar{z})$ , $f$ también evitará $\bar{\alpha}$ . Desde $\alpha$ es único, $\bar{\alpha} = \alpha \implies \alpha \in \mathbb{R}$ . Esto se contradice con la suposición $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ .

Es fácil ver la función $z \sin z$ satisfacer $(*)$ por lo que se trata de una suryección.

Actualización

He aquí una prueba alternativa utilizando Teorema de Rouché . Demostraremos una afirmación un poco más fuerte:

$$(z + \alpha) \sin z \quad\text{ is surjective for any }\;\; \alpha \in \mathbb{C}$$

Para $k \in \mathbb{N}$ , dejemos que $L_k$ sea el contorno:

$$L_k = \left\{ x + i y \in \mathbb{C} : \max(|x|,|y|) = (k+\frac12)\pi \right\}$$

A lo largo de los bordes de $L_k$ tenemos: $$ |\sin(x+iy)| \ge \begin{cases} \cosh(y),& \text{ for } |x| = (k+\frac12)\pi\\ \sinh((k+\frac12)\pi),&\text{ for } |y| = (k+\frac12)\pi\end{cases} \implies |\sin(x+iy)| \ge 1$$

Para cualquier $\beta \in \mathbb{C}$ si elegimos un $k \in \mathbb{N}$ tal que $( k + \frac12 ) \pi > |\alpha| + |\beta|$ y, a continuación, en $L_k$ tenemos:

$$|z \sin z| - | \alpha \sin z - \beta | \ge ( |z| - |\alpha| ) |\sin z| - |\beta| \ge |z| - |\alpha| - |\beta| > 0$$

Por el teorema de Rouché, $z\sin z$ y $(z+\alpha)\sin z - \beta$ tiene el mismo número de raíces dentro de $L_k$ .
Desde $z = 0$ es una raíz de $z \sin z$ en $L_k$ , $(z + \alpha) \sin z = \beta$ tiene una solución dentro de $L_k$ .

Desde $\beta$ es arbitraria, esto implica que $(z + \alpha) \sin z$ es suryente.

Si uno mira la prueba cuidadosamente, se dará cuenta de que un enfoque similar le permitirá mostrar $P(z) \sin z$ es suryente para cualquier polinomio no constante $P(z)$ .

Answer 2

Voy a dar un ejemplo de (surjective)(surjective) = (not surjective) basado en un comentario de Hagen von Eitzen. $$z\cdot \frac{\exp(z^2)-1}{z}=\exp(z^2)-1$$ Claramente, la función de la derecha nunca alcanza $-1$ . Queda por demostrar que $f(z)=\frac{\exp(z^2)-1}{z}$ ampliado con $f(0)=0$ es suryente.

Cualquier función entera impar es suryente (o idéntica a cero).

Sí, es cierto, $f(-z)=-f(z)$ implica que el rango de $\mathbb C$ es simétrica respecto a $0$ . Por lo tanto, si $f$ omite algún valor no nulo $w$ tiene que omitir $-w$ también, contradiciendo a Picard.

Answer 3

Para responder a la pregunta del título: Para $x, y \in \mathbb{R}$ y $z = x + iy$ $$\left|\sin(z)\right|^2 = \sin^2(x) + \sinh^2(y).$$

Dejemos que $k \in \mathbb{N}$ y que $L$ (dependiendo de $k$ ) sea el rectángulo

$$L = \{ x + iy \in \mathbb{C} \mid \max \left(|x|, y\sinh(y) \right) = \left(k+\tfrac{1}{2}\right)\pi \}.$$

Entonces, para todos los $z \in L$ tenemos $\left|z \sin(z)\right| \geq (k + \frac{1}{2}) \pi$ . Supongamos ahora que $z \sin(z)$ evita el valor $w$ . Entonces $$g(z) = \frac{1}{z \sin(z) - w}$$ está entero. Tome $k \in \mathbb{N}$ tal que $(k + \frac{1}{2}) \pi > |w|$ . Entonces, para todos los $z\in L$ $$ |g(z)| \leq \frac{1}{(k + \frac{1}{2}) \pi - |w|}$$ y por el principio del módulo máximo esta desigualdad también debe cumplirse dentro de $L$ . Tome $k \to \infty$ para concluir que $g = 0$ lo cual es claramente falso. Por lo tanto $z \sin(z)$ debe ser sobreyectiva.