Cuadráticas con raíces de números enteros, los valores posibles de un

Question

Supongamos que $a$, $b$ son números reales tales que a $a+b=12$ y tanto las raíces de la ecuación de $x^2+ax+b=0$ son enteros.

Determinar todos los valores posibles de a $a$.

No sé cómo hacer esto sin necesidad de largos y desordenados de casos. Me intenta $(x-s)(x-r)=x^2+ax+b$ y consiguió $-r-s=a$$rs=b$, pero fue incapaz de encontrar todos los solutionss basado en sólo estos y $a+b=12$. Podría alguien ayudarme a terminar? Gracias.

Answer 1

Su método, llevado un poco más lejos, funciona. Tenemos $-(r+s)+rs=12$. Reescribir como $$(r-1)(s-1)=13.$$

Ahora hay no muchas posibilidades, ya que $13$ es primo. No olvidarse de los números negativos.

Answer 2

Desde $a + b = 12$

$$-(r+s) + rs = 12$$

El uso de Simón favorito de factoring truco:

$$(r-1)(s-1) - 1 = 12 \iff (r-1)(s-1) = 13$$

Sólo dos posibles soluciones que se plantean:

$r -1 = 1$ $s -1 = 13$ , por lo $r = 2$ $s = 14$

$r -1 = -1$ $s -1 = -13$ , por lo $r = 0$ $s = -12$

Por lo tanto, $a = -16$ $b = 28$

o

$a = 12$ $b = 0$