Invierte en el álgebra de operadores de convolución

Question

Deje $G$ ser localmente compacto totalmente desconectado del grupo, y para hacer la vida más fácil supongamos su medida de Haar es bi-invariante. Deje $C_c(G)$ ser el espacio localmente constante de funciones complejas en $G$ con soporte compacto, que forma un álgebra en virtud de la convolución. Supongamos $e \in C_c(G)$ es un idempotente, por lo que el $H = eC_c(G)e$ es un álgebra con la identidad. Es cierto que si $f \star g = e$$H$, $g \star f = e$ así?

Esto puede ser demasiado general para ser verdad, así que para ser más específicos: supongamos $K < G$ es un subgrupo compacto tal que $K\backslash G/K$ es contable, supongamos $\phi : G \to \mathbf{C}^{\times}$ es un personaje, y supongamos que el idempotente $e$ es la función de apoyo en la $K$ tal que $e(x) = \phi(x^{-1})/\mu(K)$$x \in K$. Ahora es cierto que si $f \star g = e$ $H$ $g \star f = e$ así?

[Estoy leyendo algo que reclama unos $f$ es una unidad, pero luego se comprueba mediante la comprobación de la existencia de $g$ tal que $f \star g = e$. Así que en realidad, la pregunta es si se sigue por algunos negocios en general que $g \star f = e$, o si uno ha de hacer otro cálculo para comprobar la otra dirección.]

Answer 1

Hey DLS. La finitud de los supuestos poner en las matrices quiere decir que puede ser interpretado como lineal mapas desde una infinita suma directa de copias de k a sí mismo. Llamar a este spae X. Así que ahora tu pregunta parece ser: "si f,g:X-->X y fg=id, es gf=id?" y ahora es fácil ver contraejemplos: por ejemplo, imagine que una de las matrices envía e_i a e_{i+1} y el otro envía e_i a e_{i-1} y mata e_1.

Answer 2

No tengo una solución, pero aquí están algunas ideas que podrían ser de interés o de utilidad.

Puede que la hayan visto ya, pero si su grupo es discreta , a continuación, su grupo de von Neumann álgebra $VN(G)$ es "directamente" finita, es decir, a la izquierda de cada elemento invertible es invertible. Creo que esta propiedad es heredada por el álgebra cuando se comprime por un idempotente en $C_c(G)$.

La referencia más antigua que conozco es en algún lugar de Kaplansky los Campos y los Anillos; una prueba de algo un poco más débil, que, de hecho, puede ser impulsado a probar el resultado original, que se dio en

Montgomery, M. Susan. A la izquierda y a la derecha, invierte en el grupo de álgebras. Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 75 1969 539--540. MR0238967 (39 #327)

(La prueba utiliza la existencia de un fiel tracial estado en $VN(G)$, más el hecho de que cada idempotente en un $C^*$-álgebra es similar en el álgebra a un mismo-adjoint idempotente, algo que no era tan obvio para mí la primera vez que vi este resultado).

No sé cuál es el estado de juego para álgebras de la forma $H$, tal como se describe en la pregunta. Creo que se sabe lo suficiente acerca de la $C^*$-álgebras de algunos totalmente desconectados de los grupos (trabajo de Plymen et al.) que uno podría tener resultados similares, pero los argumentos tienen que ser diferentes de los discretos caso porque uno ya no tiene los fieles positivo de seguimiento que es utilizado por Kaplansky y Montgomery argumentos.

Por supuesto, en el más especial el caso de que usted tiene en la mano, podemos tener suficiente de la estructura de la fuerza de izquierda invertibles a la derecha invertible; pero fuera de la parte superior de mi cabeza nada viene a la mente.

Answer 3

Creo que el problema general con el infinito matrices (que son de la fila-columna-finito) surge del hecho de que el cambio de la matriz e_i -> e_i+1 (para los que me van más los enteros positivos) sólo ha dejado inversa.