(De la onu)countability en QFT

Question

Soy un matemático de auto-estudio de la física, y actualmente está trabajando en la QFT con Srednicki del libro.

Una cosa que me molesta es que para un campo escalar (en la versión de Hamilton) no es un oscilador armónico en cada punto de impulso espacio. Todos estos conmuta con cada uno de los otros, lo que significa que pueden ser observadas de manera simultánea. Este es un incontable número de osciladores armónicos.

Si un clásico de campo es distinto de cero, entonces es distinto de cero en una cantidad no numerable de lugares. Así que me parece que un genérico de medición del campo producirá una cantidad no numerable de puntos con los no-cero de energía, correspondiente a una cantidad no numerable de bosones.

Sin embargo, QFT parece tratar un campo como tener un conteo del número de partículas. Cada Feynmann diagrama implica sólo un número finito de partículas, y la LSZ fórmula de reducción de ofertas con un número finito de entrantes y salientes de las partículas.

Así que mi pregunta es, Será un campo genérico del estado han countably muchas partículas o una cantidad no numerable de partículas, y cómo esto se reducen a un ámbito clásico en el límite clásico?

Answer 1

El incontable número de osciladores armónicos representan "oportunidades", una partícula de estados en el que los nuevos objetos se pueden crear.

Pero un campo genérico del estado no sólo tiene un "contable" número de partículas, pero un número finito de partículas. Lo que es necesario al menos cuando la partícula es masiva o cargada, de lo contrario el total de la energía o de carga sería infinito. Sólo queremos considerar la posibilidad de que los estados que son un número finito de energía o de carga sobre el suelo del estado.

Para la masa y neutral partículas como los fotones, el número de partículas puede ser formalmente divergentes debido a un bucle de efectos y divergencias, pero este resultado no tiene nada que ver con la observación de la simple uncountability de una partícula de estados que han hecho.

Creo que es útil para entender la relación entre el campo de la teoría del espacio de Fock y la suma directa de $n$-partícula de Hilbert espacios para todos los enteros $n$ – porque si usted entiende que no hay ningún problema en el último, usted verá que no hay ningún problema en la anterior debido a los espacios de Hilbert son isomorfos.

Answer 2

Un estado genérico de QFT tiene un fijadas número de partículas, que son en la mayoría de los contables.

Esto es porque el espacio de Fock se construye como una suma directa de los subespacios con cualquier número posible de partículas, de cero a infinito. Mathematicallly, vamos a $\mathscr{H}_1$ ser una partícula espacio, $\mathscr{H}_n$ el (simétrica o anti-simétrica) $n$veces producto tensor de $\mathscr{H}_1$, e $\mathscr{H}_0=\mathbb{C}$ el vacío (sin partículas). A continuación, el (simétrica, sólo para fijar las ideas) Fock espacio de más de $\mathscr{H}_1$$\Gamma_s(\mathscr{H}_1)=\bigoplus_{n=0}^\infty \mathscr{H}_n$.

Por lo tanto un estado de $\Gamma_s(\mathscr{H}_1)\ni\Psi=(\Psi_0,\Psi_1,\dotsc,\Psi_n,\dotsc)$ en general, tiene un no-cero $n$-partícula de los componentes para todos los $n\in\mathbb{N}$, con la restricción de que la norma $\lVert\Psi\rVert^2=\sum_{n=0}^\infty \lVert \Psi_n\rVert^2_{\mathscr{H}_n}$ es finito. La aniquilación y creación de operadores permiten saltar de $\mathscr{H}_n$ $\mathscr{H}_{n\pm 1}$ y se definen formalmente, por lo general, como operador de valores de las distribuciones que tienen sentido cuando se actúe en funciones de la partícula en el espacio $\mathscr{H}_1$.

Supongamos $\mathscr{H}_1=L^2(\mathbb{R}^d)$, y deje $a^\#(k)$ ser la aniquilación y creación de los operadores, y $\phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2}}(a^*(k)+a(k))$ a ser el campo de operador (de nuevo que sólo tienen sentido cuando actúa en $f\in L^2(\mathbb{R}^d)$). A continuación, el promedio de $\langle\sqrt{\hslash} \phi(k)\rangle$ más adecuados $\hslash$dependiente de los estados (por ejemplo, coherente estados) converge en el límite de $\hslash\to 0$ a la correspondiente clásica campo $\varphi(k)\in L^2(\mathbb{R}^d)$. Esto puede ser rigurosamente probado en algunos (lo suficientemente regular) sistema.