¿Cuáles son los posibles órdenes de los elementos en $GL(2,\mathbb{R})$ ?

Question

Esta pregunta surgió durante las discusiones sobre ejemplos interesantes de "órdenes de elementos de grupos" para un curso de teoría de grupos.

Definición: $GL(2,\mathbb{R})$ es el grupo de $2 \times 2$ matrices con entradas de números reales, con determinante no nulo. La operación binaria de este grupo es la multiplicación de matrices.

Pregunta: ¿Qué es $\{\mathrm{ord}(M):M \in GL(2,\mathbb{R})\}$ ?

Answer 1

Puede ser cualquier número. Tome una matriz que representa una rotación con un ángulo $\phi=\frac{2\pi}{n}$ ( $n\in \mathbb{Z}$ ), es decir $$\left(\begin{array}{cc}\cos\phi & \sin \phi\\-\sin\phi & \cos\phi\end{array}\right)$$ Su orden es claramente $n$ .

EDITAR: Por supuesto, también puede ser infinito. Un ejemplo sería $$\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\ 0 & 1\end{array}\right)$$ que es invertible y satisface $$\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\ 0 & 1\end{array}\right)^n=\left(\begin{array}{cc}1 & n\\ 0 & 1\end{array}\right)$$