El patrón de bitstrings de números al cuadrado

Question

Aquí está una foto de la "plaza de los números" de mathworld sitio web.

Un complot de los primeros números al cuadrado representa como una secuencia de bits binarios se muestra más arriba. La parte superior muestra $1^2$$255^2$, y la parte inferior muestra el siguiente 510 valores. (El negro es para "uno" de poco, y aunque es "cero" bits)

Quiero aprender más acerca de este patrón. Sin embargo, no hay más explicación sobre el patrón de esta parcela de la página web.

Es allí cualquier resultado conocido acerca de este patrón ?

Answer 1

Esto le da a las longitudes de los más altos líneas negras:

http://oeis.org/A126726

Answer 2

Tenga en cuenta que cada línea es periódica. La parte inferior de la línea de alterna el blanco y el negro, como par e impar de números pares e impares plazas. La línea siguiente es el líder de bits de los números de $\pmod 4$. Como las plazas $\pmod 4$ $0,1,0,1$ siempre será blanco. Las plazas $\pmod {16}$$0,1,4,9,0,1,4,9,0,1,4,9,0,1,4,9$, por lo que la siguiente línea se ve blanco, blanco, negro, blanco y repetir. El próximo va a ser blanco, blanco, blanco, negro. Usted puede continuar .