Inversa de una infinitamente grande de la matriz?

Question

Esto es probablemente un problema trivial para algunas personas, pero me he pasado bastante tiempo en él: ¿Cuál es la inversa de la infinita matriz $$ \left[\begin{matrix} 0^0 & 0^1 & 0^2 & 0^3 & \ldots\\ 1^0 & 1^1 & 1^2 & 1^3 & \ldots\\ 2^0 & 2^1 & 2^2 & 2^3 & \ldots\\ 3^0 & 3^1 & 3^2 & 3^3 & \ldots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{de la matriz}\right] $$ (Suponga que la $0^0=1$ para este problema).

No estoy seguro de si este problema tiene una solución o está bien definido, pero si se tiene una solución, que podría ayudar en gran medida en un montón de cosas en las que estoy haciendo (en su mayoría relacionados a la generación de funciones y aproximaciones polinómicas). Empecé por tomar el inverso de cada vez mayor de la plaza matricies, pero no veo ningún patrón claro.

Answer 1

Numéricamente, se obtiene unos resultados muy interesantes para la matriz $M_{ij}=(i-1)^{j-1}$ si se expresa en la base de Fourier con la alternancia de la fila de signos, $$A := \begin{bmatrix}1 \\ & -1 \\ && 1 \\&&& -1 \\ &&&& \ddots \end{bmatrix}\mathcal{F}^{-1} \left[\begin{matrix} 0^0 & 0^1 & 0^2 & 0^3 & \ldots\\ 1^0 & 1^1 & 1^2 & 1^3 & \ldots\\ 2^0 & 2^1 & 2^2 & 2^3 & \ldots\\ 3^0 & 3^1 & 3^2 & 3^3 & \ldots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots \end{de la matriz}\right] \mathcal{F}.$$

As the discretization size of $M$ goes up, $M$ becomes extremely ill-conditioned and the entries blow up, so numerical calculations using standard doubles (15 digits of accuracy) will fail when it becomes much larger than 10-by-10. However, there are toolboxes that let you do computation with greater precision, and I used one with 512 digits of accuracy to produce the following images of the real and complex entries of the matrices $$ up to size 128-by-128:

The color of the $(i,j)$'th pixel in each plot represents $A_{ij}$, the value of the $(i,j)$'th entry of $$. The first row is the real part of $$, y la segunda fila es la parte imaginaria. El rojo significa gran valor positivo, azul significa el gran valor negativo, y el máximo valor real en la trama se muestra en el medio. La imagen es grande, pero a escala para la visualización en matemáticas.stackexchange - usted puede abrir en una pestaña nueva para ver en más detalle.

Parece que en este Fourier base normalizada en las matrices están convergiendo a un operador integral con un buen kernel, $$\frac{1}{N}A v \rightarrow \int_0^1 (K(x,y) + iJ(x,y)) v(y) dy,$$

where $K$ and $J$ are the smooth functions in the pictures, and $N$ is some renormalization factor.

Since the kernel is smooth, the action of $$ will annihilate highly oscillatory functions. Recalling the definition $ = \text{diag}(1,-1,\dots) \mathcal{F}^{-1} M \mathcal{F}$, we see exactly how $M$ is ill-conditioned and what functions are in its numerical null space - functions that are the Fourier transform of a highly oscillatory functions.

Turning this around, there should exist an inverse $^{-1}$ for the renormalized limit, acting on a space of functions that are sufficiently smooth. Indeed, the following is a plot of the spectrum of the renormalized $$ en el de 128 por 128 caso (arriba a la derecha), y es dominante vectores singulares (izquierda real en la parte superior imaginario en la parte inferior):

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Aquí está el código de Matlab he utilizado:

%Using Advanpix multiprecision computing toolbox, http://www.advanpix.com/
mp.Digits(512+9);
mp.GuardDigits(9);

jjmin = 2;
jjmax = 7;
jjrange = jjmax - jjmin + 1;

for jj=jjmin:jjmax
    N = 2^jj;

    %Generate original matrix M, where M_nm = (n-1)^(m-1)
    v = mp((0:N-1)'); 
    M = mp(zeros(N,N)); 
    for kk=0:(N-1) 
        M(:,kk+1)=v.^kk; 
    end

    %Generate matrix D F^(-1) M F, where F is the fft, and 
    %D is the diagonal matrix with diagonal [1, -1, 1, -1, ...]
    FMF = mp(zeros(N,N)); 
    for k=1:N 
        ek = mp(zeros(N,1)); 
        ek(k)=1; 
        FMF(:,k) = ifft(ifftshift(M*fft(fftshift(ek)))); 
    end
    for k=1:N 
        FMF(k,:) = (-1)^(k-1)*FMF(k,:); 
    end

    %plot it
    subplot(2, jjrange,jj - jjmin+1)
    imagesc(real(double(FMF)))
    title(['N=', num2str(N)]);

    subplot(2, jjrange, jjrange + jj -jjmin+1)
    imagesc(imag(double(FMF)))
    format short
    title(['max= ',num2str(max(real(FMF(:))),3)])

end

subplot(2,jjrange,1)
ylabel('real(D F^{-1} M F)')

subplot(2,jjrange,jjrange + 1)
ylabel('imag(D F^{-1} M F)')

Answer 2

Las transformaciones lineales de $\Bbb R^\infty$ Tomar la forma de fila finita matrices (todas las filas sólo tiene un número finito distinto de cero entradas) o columna finito matrices (de forma análoga) dependiendo de si usted está escribiendo los vectores a la derecha o a la izquierda de transformaciones.

Esta matriz no es ni de fila ni de columna finito, por lo que no puede representar una transformación lineal, es invertible o no.