¿Por qué necesitamos introducir el giro de la conexión de los coeficientes de $\omega_{\mu \space \space b}^{\space \space a} $ en la Relatividad General? A mí, que acabo de mirar (matemáticamente) al igual que los símbolos de Christoffel y así que estoy asumiendo que no son tensores? Si estoy en lo correcto en decir que, luego de hacer estos $\omega_{\mu \space \space b}^{\space \space a} $ transformación de la misma manera en general a transformaciones de coordenadas como los símbolos de Christoffel, y si es así, ¿cuál es la necesidad en ellos, entonces?
Finalmente, ¿cuál es la relación entre el Vierbein $e_{\mu}^a$ y el giro de conexión (no matemáticamente)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hay física y formal de las razones para introducir la vuelta de la conexión.
Físicamente, sabemos que hay partículas de espín 1/2. Un spin 1/2 campo no puede ser descrita por nada construido a partir de 4 campos vectoriales. Usted puede darse cuenta de esto, por ejemplo, por que el 4-vector campos (y por lo tanto nada construido a partir de ellos) regresa a su valor original después de un $2\pi$ rotación, mientras que un spin 1/2 campo no (se cambia de signo). En GR, usted querrá tomar covariante derivados de este spinor campo, esto es exactamente lo que el giro de la conexión. Si todo lo que quiero hacer es vacío GR, a continuación, usted puede hacer sin el giro de la conexión, pero si quieres poner interesante la materia en el espacio-tiempo, la necesita.
Formalmente resulta que algunos de los cálculos son en realidad más simple de usar spinors. El ejemplo canónico es el de Newman-Penrose formalismo [1], un poco más prolijo formalismo es el Geroch-Sostuvo-Penrose formalismo [2]. No hay dos volúmenes por Penrose y Rindler [3]. Quizás se pueda entender la utilidad de spinor formalismos de una aritmética de hecho: a lidiar con 12 (BPAS formalismo, 8) complejo cantidades en lugar de 24 real; esto es bastante escasas que usted puede tener distintos nombres para cada cantidad que ayuda a la notación inmensamente. (Imagina tener que escribir $\omega^1{}_{03}$ o similar para cada cantidad en su cálculo). El BPA, el formalismo, la notación es casi tan compacto como puede la esperanza de lograr dada la complejidad de la GR.
Ahora, ya que el producto de dos spinors es un vector, y un nulo vector en el que, el spinor formalismos son extremadamente bien a problemas con la radiación, la gravitación y otros. En el GHP formalismo cada cantidad tiene una directa interpretación geométrica y es fácil de hacer Ansätze que son geométricamente significativos y útiles para simplificar las ecuaciones. Un ejemplo de esto es el método de integración de Edgar y Ludwig [4].
El Cartan-Karlhede algoritmo para la clasificación de spacetimes es también más simple en spinor forma. Parte de esto es debido a la compacidad de la notación, pero en parte es también un paso en el algoritmo es poner tensores en un formulario estándar (por ejemplo, para Petrov tipo III puede tomar el tensor de Weyl para tener componentes $\Psi_i = \delta_{i3}$). Hay algoritmos para hacer esto con álgebra computacional para spinors; yo no sé acerca de los algoritmos para hacerlo con vectores.
Ahora para su práctica más preguntas, sí, la vuelta de conexión de los coeficientes son exactamente igual que los símbolos de Christoffel. Desde un mundo-vector es el producto de 2 spinors, puede recuperar el último de la antigua. No forman una adecuada tensor y de una transformación de la ley, como la de los símbolos de Christoffel.
La precisa relación entre la tetrad y la vuelta de conexión es, creo, imposible de explicar no matemáticamente, ya que la adecuada comprensión de la misma requiere de un pensamiento acerca de los haces de fibras y de cobertura de los grupos. Sin embargo, vagamente, se puede decir que, al igual que es posible a nivel local para tomar un tetrad, siempre es posible a nivel local para encontrar dos spinor campos que están en todas partes ortonormales (en cierto sentido), decir $o^A$$\iota^A$; estos son dos spinors, por lo $ A = 0,1$. Esto se llama una díada. Tienen complejos conjugados $\overline{o}^\dot{A}$$\overline{\iota}^\dot{A}$. El producto de un spinor y un conjugado spinor es un mundo-vector, por lo que con estos se pueden formar cuatro mundiales-vectores, $o^A\overline{o}^\dot{A}$ y así sucesivamente. No es muy difícil darse cuenta de que los cuatro forman un (null) tetrad.
Usted podría tomar $-o^A$ $-\iota^A$ lugar y obtener el tetrad. Así que para cada tetrad hay exactamente dos díadas. Usted podría mano wavingly decir que una díada es la raíz cuadrada de un tetrad, pero la adecuada, más formal de la declaración es que el spin group es una doble portada de el grupo de Lorentz.
Referencias
- Newman, E., & Penrose, R. (2004). Una aproximación a la radiación gravitatoria por un método de giro de los coeficientes. Diario de la Física Matemática, 3(3), 566-578.
- Geroch, R., Celebrada, A., & Penrose, R. (2003). Un espacio‐tiempo de cálculo basado en pares de null direcciones. Diario de la Física Matemática, 14(7), 874-881.
- Penrose, R. & Rindler, W. Spinors y el Espacio-tiempo. 2 vols (Cambridge University press, 1984).
- Edgar, S. B., & Ludwig, G. (1997). La integración en el GHP formalismo III: la Búsqueda de conformemente plano de radiación métricas como un ejemplo de una "situación óptima". La Relatividad General y la Gravitación, 29(10), 1309-1328.
