¿Existe un número primo $p$ tal que $p\mathcal{O}_{K}$ $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ es un alojamiento ideal?

Question

Problema: Demostrar o refutar: existe un número primo $p$ tal que $p\mathcal{O}_{K}$ $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ es un alojamiento ideal, donde $\mathcal{O}_K$ denota el anillo de enteros algebraicos en $K$.

La siguiente es mi idea:

Supongamos $p\mathcal{O}_K=p$ es un alojamiento ideal. Entonces sabemos que $g=1$, $e=1$, y $f=4$$4=efg$. Ahora, denotan por $D$ $I$ la descomposición del grupo y la inercia de grupo para $p$. A continuación, $|D|=ef=4$$|I|=e=1$.

Por otro lado, $K/\mathbb{Q}$ es de Galois con $G=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$, y no puedo encontrar todos los intermedios campos: $$K_1=\mathbb{Q}(\sqrt{2}),\qquad K_2=\mathbb Q(\sqrt 3),\qquad K_3=\mathbb Q(\sqrt 6).$$ Para un determinado $p$, trato de determinar si es o no $p$ es inerte en $K_i$ ($i=1,2,3$). Pero supongo que esto no puede funcionar.

Eso es todo lo que intento. Por favor, ayúdame! Muchas gracias!

Answer 1

Si $p$ es totalmente inerte, a continuación, la reducción de mapa es un isomorfismo $D_p \rightarrow$ Gal($\mathbb{F}_{p^4}/\mathbb{F}_p$) el cual es conocido por ser cíclico de orden 4. (Aquí se $\mathbb{F}_{p^4}$ surge como el residuo de campo de $\mathcal{O}_K/p$ y su grado más de $\mathbb{F}_p$ es sólo el residuo grado de $p$.)

Esto significa que $D \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, lo que es evidente absurdo así que no hay tal $p$ puede existir.