Para aclarar, me refiero a la "expectativa condicional" en el sentido de $C^*$ -(una proyección completamente positiva de norma 1, o lo que es lo mismo, un mapa lineal completamente positivo sobre una $C^*$ -que es un mapa bimodular sobre su imagen). Me pregunto cuándo esto puede ser homomórfico. El único ejemplo que se me ocurre es el siguiente: si $p$ es una proyección central, entonces $x \mapsto px$ es una expectativa condicional homomórfica. (Por ejemplo, en un $C^*$ -que es una suma directa, la proyección sobre un sumando es un caso de esto). ¿Hay otros?
Respuesta
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Dejemos que $A=C[0,1]$ , dejemos que $B$ sea la subálgebra de las funciones constantes, y sea $\varphi:A\to B$ se define por $\varphi(f)=f(0)$ . Entonces $\varphi$ es un $*$ -(por lo tanto, completamente positivo) de la norma $1$ , satisface $\varphi(f)=f$ cuando $f$ está en $B$ . Tenga en cuenta que $B$ no es un sumando de $A$ no es un ideal. (Y las únicas proyecciones en $A$ son $0$ y $1$ .)
