No, no hay ningún error.
Considera el conjunto de puntos:
$$ F = \left\{x = \lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_n x_n \in \mathbb{R}^d \ \vert \ \lambda_1 + \dots +\lambda_n = 0 \right\} \ . $$
Este conjunto de puntos es un subespacio lineal de $ \mathbb{R}^d$ como puede comprobar fácilmente. Si resuelve para $\lambda_1$ la ecuación $\lambda_1 + \dots +\lambda_n = 0 $ se encuentra que los vectores de $F$ puede escribirse como
$$ x = -(\lambda_2 + \dots + \lambda_n)x_1 + \lambda_2x_2 + \dots + \lambda_n x_n = \lambda_2(x_2 - x_1) + \dots + \lambda_n (x_n - x_1) \ . $$
Eso es,
$$ F = \mathrm{span}\left\{ \overrightarrow{x_1x_2}, \dots , \overrightarrow{x_1x_n}\right\} \ . $$
(Podría haber hecho lo mismo con cualquier $x_i$ en lugar de $x_1$ también).
Ahora bien, las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:
- Puntos $x_1, \dots , x_n$ son afinadamente independientes.
- Vectores $\overrightarrow{x_1x_2}, \dots , \overrightarrow{x_1x_n} $ son linealmente independientes.
$\mathbf{(1) \Longrightarrow (2)}$ . Dejemos que
$$ \mu_2 \overrightarrow{x_1x_2} + \dots + \mu_n \overrightarrow{x_1x_n} = 0 $$
Tenemos que demostrar que esto implica $\mu_2 = \dots = \mu_n = 0$ . De hecho,
$$ 0 =\mu_2 \overrightarrow{x_1x_2} + \dots + \mu_n \overrightarrow{x_1x_n} = -(\mu_2 + \dots + \mu_n)x_1 + \mu_2 x_2 + \dots \mu_n x_n \ . $$
En esta expresión, la suma de todos los coeficientes es $0$ . Como estamos asumiendo $(1)$ Esto implica $\mu_2 = \dots = \mu_n = 0$ .
$\mathbf{(2) \Longrightarrow (1)}$ . Dejemos que
$$ \lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_n x_n = 0 \qquad \text{and} \qquad \lambda_1 + \dots + \lambda_n = 0 \ . $$
Tenemos que demostrar que esto implica $\lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$ . Efectivamente, se resuelve la segunda ecuación para $\lambda_1$ de nuevo y tienes
$$ 0 = \lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_n x_n = - (\lambda_2 + \dots + \lambda_n) x_1 + \lambda_2 x_2 + \dots + \lambda_n x_n = \lambda_2 \overrightarrow{x_1x_2} + \dots + \lambda_n \overrightarrow{x_1x_n} \ . $$
Como estamos asumiendo $(2)$ Esto implica $\lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0$ y, como $\lambda_1 + \dots + \lambda_n = 0$ tenemos $\lambda_1 = 0$ también.
Hasta aquí todo bien. Ahora, vamos a terminar con otra observación trivial sobre un interpretación geométrica de este subespacio lineal $F$ y esa condición $\lambda_1 + \dots + \lambda_n = 0$ . Consideremos el conjunto de puntos
$$ V = \left\{x = \lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_n x_n \in \mathbb{R}^d \ \vert \ \lambda_1 + \dots +\lambda_n = 1 \right\} \ . $$
Este conjunto es un subespacio afín . De hecho,
$$ V = x_1 + F \ . $$
(Debería comprobar esta igualdad y entender que podría poner cualquier $x_i$ en el lugar de $x_1$ .)
Se puede decir que $V$ es en paralelo al subespacio $F$ : en efecto, $V$ "es" sólo $F$ traducido por $x_1$ .
¿Y qué? ¿Qué tiene de especial $V$ ? Bueno, por un lado, $V$ contiene todos los puntos $x_1 , \dots , x_n$ (ejercicio: ¡compruébalo!). Por otro lado, es el El más pequeño subespacio afín que los contiene; en el sentido de que, si $W \subset \mathbb{R}^d$ es otro subespacio afín que contiene todos los $x_i$ entonces $V \subset W$ .
De hecho, en general, si se tiene un subespacio afín $W = p + G$ y dos puntos en ella $x, y \in W$ entonces $\overrightarrow{xy} \in G$ . Por lo tanto, si $x_1, \dots , x_n \in W$ entonces $G$ debe contener todos los $\overrightarrow{x_1x_i}$ . Por lo tanto, $F \subset G$ . Así que $V = x_1 + F \subset x_1 + G = W$ .
Resumiendo: la condición que te molesta, $\lambda_1 + \dots + \lambda_n = 0$ , hace que el conjunto $V$ es el subespacio afín más pequeño que contiene todos los puntos $x_1, \dots , x_n$ .
EDITAR. Me olvidé. Quizás sería un buen ejercicio rehacer todo lo que hemos visto aquí con algunos ejemplos concretos. Por ejemplo, toma:
- $x_1 = (1,0), x_2 = (0,1)$ en $\mathbb{R}^2$ .
- $x_1 = (1,0,0), x_2 = (0,1,0), x_3 = (0,0,1)$ en $\mathbb{R}^3$ .
- $x_1 = (1,0), x_2 = (0,1), x_3 = (1/2, 1/2)$ en $\mathbb{R}^2$ .
