Cómo podemos aplicar el Borel-Cantelli lema aquí?

Question

Deje $(A_n)$ ser una secuencia de eventos independientes con $\mathbb P(A_n)<1$$\mathbb P(\cup_{n=1}^\infty A_n)=1$. Mostrar que $\mathbb P(\limsup A_n)=1$.

Parece que el problema es prácticamente pidiendo a aplicar la Borel-Cantelli. Sin embargo, la solución propuesta fue de manera diferente: a través de $\prod_{n=1}^\infty \mathbb P( A_n^c)=0$.

Cómo podemos aplicar el Borel-Cantelli lema aquí? I. e. cómo mostrar que $\sum_{n=1}^\infty \mathbb P( A_n)= \infty$?

Answer 1

Lo que se le pide a mostrar:

Si $\mathbb P(A_n)\lt1$ por cada $n$ $\prod\limits_{n=1}^\infty \mathbb P( A_n^c)=0$ $\sum\limits_n\mathbb P( A_n)$ diverge.

Por lo tanto, Borel-Cantelli lema no está involucrado en la prueba de que la serie $\sum\limits_n\mathbb P( A_n)$ diverge, que es puramente un problema de análisis real. En todos los casos:

Considerar algunos no negativo secuencia $(x_n)$ tal que $x_n\lt1$ por cada $n$$\prod\limits_{n=1}^\infty (1-x_n)=0$, entonces la serie de $\sum\limits_nx_n$ diverge.

Puede usted pensar en un enfoque simple para mostrar esto?

Si $x_n\geqslant\frac12$ infinitamente a menudo, a continuación, $\sum\limits_nx_n$ diverge. De lo contrario, $x_n\leqslant\frac12$ por cada $n$ lo suficientemente grande como, por ejemplo, para cada $n\geqslant N$, e $\prod\limits_{n=N}^\infty (1-x_n)=0$ (esto es donde usamos ese $x_n\ne1$ por cada $n$).
Para cada $x$ en $[0,\frac12]$, $1-x\geqslant\mathrm e^{-cx}$ para algunos adecuado $c$ por lo tanto $\prod\limits_{n=N}^\infty (1-x_n)\geqslant\exp\left(-c\sum\limits_{n=N}^\infty x_n\right)$, lo que muestra que $\sum\limits_{n=N}^\infty x_n$ diverge, QED. (Ejercicio: Encontrar $c$.)

Answer 2

Usted desea mostrar a $P(\cap_{n=1}^{+\infty}\cup_{k=n}^{+\infty}A_k) = 1$, lo que equivale a $P(\cup_{n=1}^{+\infty}\cap_{k=n}^{+\infty}A_k^c) = 0$.

Al mismo tiempo, tenemos $$P(\cup_{n=1}^{+\infty}\cap_{k=n}^{+\infty}A_k^c) = \lim_{n\to +\infty } P(\cap_{k=n}^{+\infty}A_k^c) = \lim_{n\to +\infty } \prod_{k=n}^{+\infty}P(A_k^c)$$

La observación de que $\prod_{n=1}^{+\infty}P(A_n^c) = 0$ implica $\prod_{k=n}^{+\infty}P(A_k^c) = 0$ cualquier $n$ (ya que todos los $P(A_n^c) > 0$), por lo que el límite anterior es $0$.

Hemos probado a $P(\cap_{n=1}^{+\infty}\cup_{k=n}^{+\infty}A_k) = 1$, en consecuencia, hemos $\sum_{n=1}^{+\infty}P(A_n) = +\infty$

Para una prueba directa, ver la pregunta relacionada con la