Demostrar que una secuencia es de Cauchy y por tanto convergente

Question

Supongamos que $0<\alpha<1$ y que $\{ x_n\}$ es una secuencia que satisface $$|x_{n+1}-x_n| \le \alpha^n$$ $$n= 1,2,....$$

Demostrar que $\{x_n\}$ es una secuencia de Cauchy y, por tanto, converge.

Dé un ejemplo de una secuencia $\{ y_n\}$ s.t $y_n \to \infty$ pero $$|y_{n+1}-y_n| \to 0$$ como $n \to \infty$

Así que esta es mi opinión hasta ahora, para entender desde el principio la definición de Cauchy es $\{v_n\}_n$ es una secuencia de Cauchy si para todo $\varepsilon>0$ existe $N\in \Bbb N$ tal que para todos los números naturales $n,m\geq N$ : $|v_n-v_m|<\varepsilon$ .

y dije que si $n > m$ $$|x_n-x_m| \le |x_n-x_{n-1}|+|x_{n-1}-x_{n-2}|....+|x_{m+1}-x_m|$$ $$\le \alpha^{n-1}+\alpha^{n-2}+.............+\alpha^{m}$$ $$= 1-\frac{\alpha^{n-m}}{1-\alpha}$$

pero desde aquí no estoy muy convencido de cómo podría procesar más...

¿Podrían ayudarme?

Answer 1

Sólo tienes que encontrar un $N$ para que $\alpha^N < \epsilon(1-\alpha)$ . Entonces para $n > m \geq N$ , $$\alpha^{n-1} + \cdots + \alpha^m = \alpha^{m}(1 + \alpha + \cdots + \alpha^{n-m-1}) = \alpha^{m} \frac{(1-\alpha^{n-m})}{(1-\alpha)} \leq \frac{\alpha^{m}}{1-\alpha} \leq \frac{\alpha^N}{1-\alpha}$$

Answer 2

Un ejemplo para la segunda parte puede ser: $y_n = \sum_{k=1}^n \frac1n$ . Entonces, $|y_{n+1} - y_n|= \frac1{n+1}$ que tiende a 0, pero $y_n \rightarrow +\infty$ como $n\rightarrow \infty$