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Demostrar que una secuencia es de Cauchy y por tanto convergente

Supongamos que 0<α<1 y que {xn} es una secuencia que satisface |xn+1xn|αn n=1,2,....

Demostrar que {xn} es una secuencia de Cauchy y, por tanto, converge.

Dé un ejemplo de una secuencia {yn} s.t yn pero |yn+1yn|0 como n

Así que esta es mi opinión hasta ahora, para entender desde el principio la definición de Cauchy es {vn}n es una secuencia de Cauchy si para todo ε>0 existe NN tal que para todos los números naturales n,mN : |vnvm|<ε .

y dije que si n>m |xnxm||xnxn1|+|xn1xn2|....+|xm+1xm| αn1+αn2+.............+αm =1αnm1α

pero desde aquí no estoy muy convencido de cómo podría procesar más...

¿Podrían ayudarme?

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Como último término, obtengo αmαn1α ...

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Ejemplo de contador: (n)

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Fox Puntos 139

Sólo tienes que encontrar un N para que αN<ϵ(1α) . Entonces para n>mN , αn1++αm=αm(1+α++αnm1)=αm(1αnm)(1α)αm1ααN1α

3voto

H. Potter Puntos 61

Un ejemplo para la segunda parte puede ser: yn=nk=11n . Entonces, |yn+1yn|=1n+1 que tiende a 0, pero yn+ como n

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