Galois grupo de polinomio irreducible en un campo de característica cero, en la que cada elemento es un cuadrado perfecto

Question

Este es uno de los ejercicios durante mi lectura de Ian Stewart, la Teoría de Galois. Si la siguiente afirmación es verdadera:

Si $K$ es un campo de característica cero, en la que cada elemento es un cuadrado perfecto, entonces el grupo de Galois de cualquier irreductible $n$-ésimo polinomio de grado sobre $K$ es isomorfo a $A_n$.

Creo que no podría ser cierto, pero los ejemplos de tales campos en mis conocimientos son muy pocos. Los pensamientos? Gracias!

Answer 1

Yo proferir el siguiente contraejemplo.

En primer lugar, debemos construir un campo de $K$. Deje $K_0=\Bbb{Q}$, y de forma recursiva definir los campos de $K_n, n\in\Bbb{N}$ por la receta que $K_{\ell+1}$ es obtenido a partir de $K_\ell$ por contigua a la de las raíces cuadradas de todos los elementos de a$K_{\ell}$. Tenga en cuenta que podemos hacer esta construcción dentro de $\Bbb{C}$. Luego nos vamos a $$ K=\bigcup_{n\in\Bbb{N}}K_n\subconjunto \Bbb{C}. $$ Entonces, cualquier elemento de la $K$ pertenece a algún campo de $K_\ell$, y por lo tanto tiene una raíz cuadrada en $K_{\ell+1}$, por lo tanto, también en $K$.

Si tomamos cualquier elemento $z\in K$, afirmo que la $[\Bbb{Q}(z):\Bbb{Q}]$ es una potencia de dos. Claramente $z\in K_\ell$ algunos $\ell$. W. l.o.g. podemos suponer que $\ell$ es el menor número natural con esa propiedad. Entonces existe un conjunto finito de elementos $z_1,z_2,\ldots,z_m\in K_{\ell-1}$ tal que $z\in K_{\ell-1}(\sqrt{z_1},\sqrt{z_2},\ldots,\sqrt{z_m})$. Esto significa que podemos escribir $z$ en términos de un número finito de elementos de $K_{\ell-1}$ y sus raíces cuadradas. Por hipótesis de inducción a todos aquellos los elementos son algebraicas de grado de una potencia de dos más de $\Bbb{Q}$. Por lo tanto también lo es su compositum. Adyacente a la raíz cuadrada de $z_i, i=1,\ldots,m,$ no cambia el hecho de que así vemos que $\Bbb{Q}(z)$ se encuentra en un campo de título de una potencia de dos liquidar la reclamación.

Vamos, entonces, a considerar la undécima cyclotomic polinomio $$ \phi_{11}(x)=x^{10}+x^9+x^8+\cdots+x^2+x+1. $$ La conocida teoría de la cyclotomic campos sabemos que $\phi_{11}(x)$ factores en un producto de dos quintic factores sobre los $F=\Bbb{Q}(\sqrt{-11})$, la única cuadrática subcampo de la undécima cyclotomic campo. Deje $f(x)$ ser uno de esos quintic factores.

Por la observación anterior $f(x)$ permanece irreductible $K$. Si $L=K(e^{2\pi i/11})$ es la división de campo de la $f(x)$, podemos ver fácilmente que el $Gal(L/K)$ es isomorfo a $Gal(\Bbb{Q}(e^{2\pi i/11})/\Bbb{Q}(\sqrt{-11})\cong C_5$.

Pero $C_5$ es un buen subgrupo de $A_5$.