Encontrar $\int_0^\pi \sin(x)\,dx$ explícitamente

Question

Un libro que me pide probar que:

$$\int_0^{\pi}\sin(x)\,dx = 2$$

El uso de la identidad:

$$\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) + \cdots + \sin\left(\frac{n\pi}{n}\right) = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)-\cos\left(\frac{(2n+1)\pi}{2n}\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}$$

Y la famosa $\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x} = 1$

Lo que he intentado:

Utilizando el Derecho de Riemann Suma Método:

$$\int_a^{b}\sin(x)\,dx \approx \Delta x\left[f(a + \Delta x) + f(a + 2\,\Delta x) + \cdots + f(b)\right]$$

Tomando $\Delta x = \frac{\pi}{n}$, $a = 0$ y $b = \pi$ tenemos:

$$\int_0^{\pi}\sin(x)\,dx \approx \Delta x\left[f(\Delta x) + f(2\,\Delta x) + \cdots + f\left(\frac{n\pi}{n}\right)\right] = \frac{\pi}{n}\left[\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) + \cdots + \sin\left(\frac{n\pi}{n}\right)\right] = \frac{\pi}{n}\left[\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)-\cos\left(\frac{(2n+1)\pi}{2n}\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}\right]$$

Así

$$\int_0^\pi \sin(x)\,dx = \lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{n}\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)-\cos\left(\frac{(2n+1)\pi}{2n}\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}$$

No veo, sin embargo, cómo probar este límite $=2$

Answer 1

Observe que podemos reescribir el límite como: $$ \left[\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{\pi}{2n}}{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)} \right]\left[\cos\left(\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{2n}\right)-\cos\left(\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)\pi}{2n}\right) \right] = 1 \cdot [\cos 0 - \cos \pi] = 2 $$

Answer 2

El uso de $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$ con $$\lim_{n\to\infty}\frac{\pi/(2n)}{\sin(\pi/(2n))}=1,$$ Tenemos $$\frac{\pi/(2n)}{\sin(\pi/(2n))}\cdot (-2)\sin\left\{\frac{1+(2/n)}{2}\pi\right\}\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\to 1\cdot (-2)\cdot 1\cdot (-1)=2\ (n\to \infty)$$

Answer 3

Sin simplificar su última expresión (thr numerador es dos veces el mismo término de la misma), se podría utilizar la serie de Taylor y, para valores grandes de a $n$, se puede escribir $$\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)=1-\frac{\pi ^2}{8 n^2}+\frac{\pi ^4}{384 n^4}+O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^5\right)$$ $$\cos\left(\frac{(2n+1)\pi}{2n}\right)=-1+\frac{\pi ^2}{8 n^2}-\frac{\pi ^4}{384 n^4}+O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^5\right)$$ $$\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)=\frac{\pi }{2 n}-\frac{\pi ^3}{48 n^3}+O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^5\right)$$ So $$\frac{\pi}{n}\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)-\cos\left(\frac{(2n+1)\pi}{2n}\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}=2-\frac{\pi ^2}{6 n^2}+O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^4\right)$$