La identificación de finito-índice de subgrupos de $SL_2(\mathbb Z)$ de los generadores

Question

Supongamos que tengo un conjunto finito de elementos de la estructura modular del grupo $\operatorname{SL}_2(\mathbf{Z})$. Hay un número finito de procedimiento que determinará si es o no el grupo que generan ha finito índice, y si es así, el cálculo de este índice?

De manera similar, si el grupo que generan tiene finita índice, hay un número finito de procedimiento para determinar si algunas de $g \in \operatorname{SL}_2(\mathbf{Z})$ se encuentra en este grupo?

(Nota: Esta pregunta ha sido reeditado en MathOverflow.)

Answer 1

El siguiente es un minuciosamente ajustado copia de Marca de Sapir excelente respuesta a esta pregunta en MathOverflow:

Sí, existe un algoritmo. En primer lugar, encontrar la intersección $U$ $H=\langle x_1,..., x_n\rangle$ con la libre subgrupo de índice 12$SL_2(\mathbb{Z})$ el grupo cuenta con dos generadores $a,b$). Vamos a ser generados por las palabras de $u_1,...,u_m$. Considerar la Stallings gráfico asociado con $U$. Es un finito etiqueta gráfico donde cada borde es etiquetado por $a,b,a^{-1}$ o $b^{-1}$ y no hay dos bordes compartir el inicial/termnal vértice tienen la misma etiqueta. El índice es finito si y sólo si cada vértice de la gráfica tiene grado 4. Véase, por ejemplo:

Margolis, S.; Sapir, M.; Weil, P. Cerrado subgrupos en los pro-V topologías y el problema con la extensión de la inversa de autómatas. Internac. J. Álgebra Comput. 11 (2001), no. 4, 405-445 y las referencias allí.