Supongamos que usted tiene un selfadjoint matriz$A$$\mathbb{C}^N$. El teorema espectral en forma de proyección le da las proyecciones ortogonales tales que
$$
P_k^2 = P_k^{\estrella} = P_k \\
P_j P_k = 0,\;\;\; j\ne k \\
I = P_1+P_2+\cdots+P_n \\
AP_j = \lambda_j P_j.
$$
Por lo tanto,
$$
A = \lambda_1 P_1 + \cdots +\lambda_n P_n.
$$
El poder de $A$ puede ser calculada
$$
A^{m} = \lambda_1^m P_1 + \cdots + \lambda_n^m P_n
$$
Otras funciones de $A$ puede ser calculada como
$$
e^{Un} = e^{\lambda_1}P_1 + \cdots e^{\lambda_n}P_n
$$
Esta abstracción mediante proyecciones ortogonales es una de las más útiles para la transición a la del caso general.
La transformada de Fourier es un continuo de diagonalización de $A=\frac{1}{i}\frac{d}{dt}$. Una proyección ortogonal es
$$
P_{S}f = \mathcal{F}^{-1}(\chi_{S}\mathcal{F}f),
$$
donde $\chi_{S}$ es la función característica de un subconjunto medible $S$$\mathbb{R}$. Se puede ver que $P_{S}^2f=P_{S}f$ porque $\chi_{S}^2 =\chi_{S}$. Y, no es difícil comprobar que $(P_Sf,g)=(f,P_Sg)$. Y $P_{\mathbb{R}}=I$ porque $P_{\mathbb{R}}f=\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f$. Como punto de partida para la comparación de la matriz caso, considere la posibilidad de
$$
I = \sum_{n=-\infty}^{\infty}P_{[\frac{n}{N},\frac{n+1}{N}]}
$$
Usando la identidad de Parseval,
$$
Af =\frac{1}{i}\frac{d}{dx}P_{[\frac{n}{N},\frac{n+1}{N}]}f \approx \frac{n}{N}P_{[\frac{n}{N},\frac{n+1}{N}]}f
$$
Más precisamente, el uso de la identidad de Parseval,
\begin{align}
\left\|\left(A-\frac{n}{N}I\right)P_{[\frac{n}{N},\frac{n+1}{N}]}f\right\|^2 &=\int_{\frac{n}{N}}^{\frac{n+1}{N}}|s-\frac{n}{N}|^2|\hat{f}(s)|^{2}ds \\
& \le \frac{1}{N^2}\int_{\frac{n}{N}}^{\frac{n+1}{N}}|\hat{f}(s)|^2ds \\
& \le \frac{1}{N^2}\|P_{[\frac{n}{N},\frac{n+1}{N}]}f\|^2.
\end{align}
Por lo tanto,
$$
AP_{\frac{n}{N},\frac{n+1}{N}}f \approx \frac{n}{N}P_{[\frac{n}{N},\frac{n+1}{N}]}f
$$
Así que usted tiene un aproximado de descomposición
$$
I = \sum_{n=-\infty}^{\infty}P_{[\frac{n}{N},\frac{n+1}{N}]}
\\
Un \approx \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{n}{N}P_{[\frac{n}{N},\frac{n+1}{N}]}
$$
Usted no puede hacer todo exacto, por $e^{isx}$ no está en el espacio de $L^2$, pero puede hacer que el operador aproximación tan cerca como quiera tomar $N$ lo suficientemente grande, que es la granularidad de la descomposición del eje real. La razón que usted no puede hacer que sea exacta es debido a $\int_{n/N}^{(n+1)N}e^{isx}ds$ es en el espacio y es aproximadamente un autovector de aproximación autovalor $n/N$, pero la función de $e^{i(n/N)x}$ no $L^2$. La suma da paso a una integral en el límite de $N\rightarrow\infty$. El Teorema Espectral para selfadjoint operadores que hace de este exacto. Si $P(t)f=\mathcal{F}^{-1}(\chi_{(-\infty,t]}\mathcal{F}f)$, luego el siguiente, se hace precisa en un espacio de Hilbert sentido:
$$
\frac{1}{i}\frac{d}{dx} = \int_{-\infty}^{\infty}\lambda dP(\lambda).
$$
Y, usted tiene
$$
\|f\|^2 = \int_{-\infty}^{\infty}d_{\lambda}\|P(\lambda)f\|^2.
$$
