Demostrar que una integral es positiva

Question

Para cualquier entero positivo $n$, considere la posibilidad de $$\int_{0}^\infty\frac{(r^2-1)r^{n+1}}{(r^2+1)^{n+3}}dr.$$ Me gustaría mostrar que es positivo. Trato de escribir como $$\int_{0}^\infty\frac{(r^2-1)r^{n+1}}{(r^2+1)^{n+3}}dr=\int_{0}^\infty\frac{r^{n+1}}{(r^2+1)^{n+2}}dr-2\int_{0}^\infty\frac{r^{n+1}}{(r^2+1)^{n+3}}dr,$$ pero no estoy seguro de que ayuda.

EDIT: de Acuerdo a sjasonw, la integral puede no ser positivo como pienso. Yo estaría feliz de ver a una prueba que demuestre que no es positivo.

Answer 1

Si $$\int \frac{(r^2-1)r^{n+1}}{(r^2+1)^{n+3}}dr=I$$

$$\int \frac{(r^2-1)r^{n+1}}{(r^2+1)^{n+3}}dr=\int \frac{r^{n+1}}{(r^2+1)^{n+2}}dr-2\int_{0}^\infty\frac{r^{n+1}}{(r^2+1)^{n+3}}dr$$

Ahora $$\int\frac{r^{n+1}}{(r^2+1)^{n+2}}dr=\frac1{(r^2+1)^{n+2}}\int r^{n+1} dr-\int\left(\frac{d\frac1{(r^2+1)^{n+2}}}{dr}\int r^{n+1} dr\right)dr$$

$$=\frac{r^{n+2}}{(n+2)(r^2+1)^{n+2}}-\int\left( \frac{-(n+2)2r}{(r^2+1)^{n+3}}\cdot\frac{r^{n+2}}{n+2} \right)dr$$ $$=\frac{r^{n+2}}{(n+2)(r^2+1)^{n+2}}+2\int\frac {r^{n+3}}{(r^2+1)^{n+3}}dr$$ (assuming $n+2\ne 0$)

Por eso, $$I=\int\frac{r^{n+1}}{(r^2+1)^{n+2}}dr$$ $$=\frac{r^{n+2}}{(n+2)(r^2+1)^{n+2}}+2\int\frac {r^{n+3}}{(r^2+1)^{n+3}}dr-2\int\frac{r^{n+1}}{(r^2+1)^{n+3}}dr$$ $$=\frac{r^{n+2}}{(n+2)(r^2+1)^{n+2}}+2I$$

Por eso, $$I=-\frac{r^{n+2}}{(n+2)(r^2+1)^{n+2}}$$

Ahora aplique el límite.

Answer 2

Mathematica da

$$\int\frac{\left(r^2-1\right)r^{n+1}}{\left(r^2+1\right)^{n+3}}dr=-\frac{r^{2+n} \left(1+r^2\right)^{-2-n}}{2+n}$$