Hay un equivalente de un potencial escalar por pares?

Question

Para un determinado potencial escalar $V$, se sabe que el correspondiente campo de fuerza $\mathbf{F}$ puede ser calculada a partir de

$$ \mathbf{F} = -\nabla V $$

Supongamos que un cuerpo rígido es colocado dentro de este potencial. El esfuerzo de torsión en el cuerpo $\mathbf{T}$ ejercida por el campo escalar se

$$ \begin{align} \mathbf{T} &= \int_M \left( \mathbf{r} \times \mathbf{F}(\mathbf{r}) \right) dm \\ &= \int_M \left( \mathbf{r} \times -\nabla V(\mathbf{r}) \right) dm \\ &= \int_M \left( \nabla V(\mathbf{r}) \times \mathbf{r} \right) dm \end{align} $$

con $\mathbf{r}$ el vector de posición de la masa del elemento $dm$, y la integración que se llevan a cabo a través de todo el cuerpo $M$.

De modo que, siendo no demasiado familiarizado con la dinámica de cuerpos rígidos, me preguntaba: ¿algo así como un (vectores y escalares) potencial de $P$ existe, tal que el par inducido por el potencial de $V$ puede ser expresado como

$$ \matriz{ \mathbf{T} = I \cdot \nabla P & & &\text{(o alguna forma similar)} } $$

con $I$ el momento de tensor de inercia del cuerpo rígido?

Si tal cosa existe:

• ¿cuál es su nombre?
• donde debo empezar a leer?
• ¿Cuál es la expresión adecuada para el par de torsión $\mathbf{T}$?
• ¿cómo se $P$ se refieren a $V$?

Si tal cosa no existe:

• ¿por qué no? :)

Answer 1

Gran pregunta. Un poco de historia primero.

Tenga en cuenta que cualquier fuerza de $\boldsymbol{F}$ momento $\boldsymbol{M}$ sistema en un punto de Una puede ser equipollently traducido en el tornillo del eje S , dejando sólo a los componentes de $\boldsymbol{M}$ que son paralelas a $\boldsymbol{F}$. La ubicación es encontrado por

$$ \boldsymbol{r} = \frac{\boldsymbol{F} \times \boldsymbol{M}}{\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}} $$

También el momento en componentes paralelas a $\boldsymbol{F}$ son descritos por un escalar valor de tono $h$ encontrado por

$$ h = \frac{ \boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{F}}{\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{F}} $$

A la inversa, un momento está definido por un vector de fuerza $\boldsymbol{F}$ pasa a través de un eje que se encuentra en $\boldsymbol{r}$ con tono de $h$

$$ \boldsymbol{M} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} + h \boldsymbol{F} $$

Has notado lo difícil que es aplicar un momento puro en un cuerpo rígido, sin aplicar una fuerza? Esto es debido a que no se puede tener uno sin el otro. Un momento es realmente un resultado de la línea de acción de las fuerzas. Por lo que el potencial escalar de un momento es realmente el mismo que el de las fuerzas con

$$ \boldsymbol{M} = - \boldsymbol{r} \times \nabla V - h \nabla V = -\left( \left[1\right] h + \boldsymbol{r}\times \right) \nabla V $$

El problema es que en la mecánica del cuerpo rígido fuerzas no son tratados como campos escalares, pero espacialmente constante, temporal y variable. Además, no se me ocurre un caso en el que la variación espacial de los momentos que surgen NO son debidos a una fuerza a distancia. Supongo que usted puede venir para arriba con un tensor de afinación $h$ en lugar de un escalar que es la variación espacial de una definición como la $\boldsymbol{M} = -\left( H + \boldsymbol{r}\times \right) \nabla V$, pero entonces usted va a estar haciendo cosas que no tienen ningún significado físico, que yo sepa.

Answer 2

Buena pregunta. Deseo que fueron lo suficientemente brillante como para pensar en cosas como fuera del campo de la izquierda. Así que lamento decir que la respuesta es no, por dos razones:

1. El campo escalar, llame a $P(\mathbf{r})$ buscar tiene que ser, por definición de un campo, una función del punto en el espacio $\mathbf{r}$, mientras que el par en el cuerpo depende de $\mathbf{r}$, la forma del cuerpo, la distribución de la masa Y el cuerpo de la orientación.

2. Supongamos que intenta superar este problema mediante la definición de un campo escalar $P(\mathbf{r})$ que sólo es significativo para un cuerpo determinado (un "estándar de prueba") que se encuentra en un "estándar" de la orientación que siempre es el mismo. Entonces, el par de "campo" para este estándar corporal y la orientación en función de su centro de masa (o algún otro "estándar" punto dentro del cuerpo de la definición de su posición) $\mathbf{r}$ $\mathbf{T}\left(\mathbf{r}\right) = \int_M \nabla V\left(\mathbf{r} + \mathbf{r}^\prime\right) \wedge \mathbf{r}^\prime \rho\left(\mathbf{r}^\prime\right) dV^\prime$ cuando la imprimación vectores de posición son los maniquíes para la integración y la posición en el campo de $\mathbf{r}$ "compensaciones". $\rho$ es la masa del cuerpo de la distribución. Ahora, si este campo, se deriva de un potencial escalar ( $\mathbf{T}\left(\mathbf{r}\right) = \nabla P(\mathbf{r})$ ), a continuación, una condición necesaria para esto es que $\nabla \wedge \mathbf{T} = \mathbf{0}$ (el rizo siempre aniquila la pendiente donde $\nabla \wedge \nabla$ existe). Por lo tanto, si usted trabaja fuera de la curvatura llegamos $\nabla \wedge \mathbf{T}\left(\mathbf{r}\right) = \int_M \left[\mathbf{r}^\prime . \nabla\, \nabla V\left(\mathbf{r} + \mathbf{r}^\prime\right) - \mathbf{r}^\prime \nabla^2 V\left(\mathbf{r} + \mathbf{r}^\prime\right)\right]\rho\left(\mathbf{r}^\prime\right) dV^\prime$, que, si no estoy muy equivocado, no es idénticamente cero para un general de escalar de la fuerza potencial de $V$, por lo que, por desgracia, la condición necesaria de que no se cumpla y el par de campo no es derivable de un potencial.

De nuevo, gran idea y espero que esto ayude.

Editar después de Rody la pregunta: "¿cómo sobre un vector potencial".

Un vector potencial ES posible, pero, como se indica en 1. anteriormente, solo es significativo para el cuerpo en cuestión en un determinado constante orientación.

Para mostrar esto, se forma la divergencia de la par "de campo":

$\nabla . \mathbf{T}\left(\mathbf{r}\right) = \int_M \left[\mathbf{r}^\prime . \nabla \wedge \nabla V\left(\mathbf{r} + \mathbf{r}^\prime\right) -\nabla V\left(\mathbf{r} + \mathbf{r}^\prime\right) . \nabla \wedge \mathbf{r}^\prime\right]\rho\left(\mathbf{r}^\prime\right) dV^\prime = 0$. Así que siempre hay un campo de $\mathbf{A}$ tal que $\mathbf{T}\left(\mathbf{r}\right) = \nabla \wedge \mathbf{A}$. La forma más fácil de visualizar esto es en tres dimensiones el espacio de Fourier. En el espacio de Fourier de las operaciones de $\nabla . ()$ $\nabla \wedge ()$ son reemplazados por $i\,\mathbf{k} . ()$ $i\,\mathbf{k} \wedge ()$ donde $\mathbf{k}$ es la "wavevector" (el triple de los tres transformada de Fourier de las variables $k_x$, $k_y$, $k_z$). Así, un divergenceless (aka solenoidal) campo vectorial en el espacio de Fourier es siempre ortogonal a $\mathbf{k}$ (es decir, ortogonal al vector de posición en el espacio de Fourier); de lo contrario, es tangente a las esferas centradas en el origen. Para un campo vectorial en el espacio de Fourier tenemos $\mathbf{k} \wedge (\mathbf{k} \wedge \mathbf{\tilde{T}}) = k^2 \mathbf{\tilde{T}})$ y el curl es invertible para este caso especial. Por lo tanto, para encontrar el vector de campo $\mathbf{A}$ transformamos $\mathbf{T}$ a el espacio de Fourier para obtener $\tilde{T}$, entonces la transformada de Fourier de $\mathbf{A}$ debe $\mathbf{\tilde{A}} = \frac{i}{k^2} \mathbf{k} \wedge \mathbf{\tilde{T}}$, luego se transforma de nuevo para obtener el vector de potencial.