Contraejemplo a "Urysohn Lema de Hausdorff Espacios"

Question

Tomar un topológico de Hausdorff espacio de $X$, y dos distintos puntos de $p,q \in X$. Existe una función continua $f: X \to \mathbb{R}$ tal que $f(p) \neq f(q)$?

La respuesta es probablemente no, pero no tengo un ready-made de contraejemplo. Tan pronto como tenemos que añadir el adjetivo "pacto" en el espacio de $X$ se convierte en normal, por lo que el Urysohn lema se aplica, y nos da una función de este tipo.

Por lo que el lugar para buscar es Hausdorff espacios que no son regulares/normal. Sin embargo, los ejemplos de estos que sé que a menudo son construidos como más fino topologías sobre la recta real, y por lo que vienen equipados con un mapa a $\mathbb{R}$ que separa a los puntos.

Answer 1

Lo que se busca es un espacio de Hausdorff, que no es completamente Hausdorff.

Los ejemplos proporcionados como las respuestas a esta pregunta podría encajar el proyecto de ley. En particular, estos espacios de Hausdorff tiene el (más fuerte) de bienes que no son distintos a $x,y \in X$ tal que $\overline{U} \cap \overline{V} \neq \varnothing$ para cualquier abierto barrios $U,V$$x,y$, respectivamente.

Tenga en cuenta que si $x \neq y$ pueden ser separados por una continua real de la función con valores de $f : X \to [0,1]$ (es decir, $f(x) = 0$$f(y) = 1$), a continuación, los barrios $f^{-1} [ [0,\frac{1}{3}) ]$ $f^{-1} [ ( \frac{2}{3} , 1 ] ]$ debe tener distintos cierres. (Esto es porque, por una continua $f : X \to Y$ debemos tener ese $\overline{f^{-1} [ B ]} \subseteq f^{-1} [ \overline{B} ]$ todos los $B \subseteq Y$.)