Calcular $d(x^{100},P_{\le 98})$ donde $P$ es el subespacio de los polinomios con grado de $\le 98$

Question

Calcular $d(x^{100},P_{\le 98})$ donde $P$ es el subespacio de los polinomios con grado de $\le 98$, mirando a $C_{(2)}[-1,1]$, $L_2$ norma.

Yo traté de mirar general polinomio $\sum_{i=0}^{98} a_ix^i$ y el uso de $\|f-g\|=\int_{-1}^1 f(x)\overline{g(x)} \, dx$, pero esto es demasiado excesivo y no veo que lo impide. También he probado a utilizar el cero del elemento, sino que terminaría con un no-cero, resultado que no ayuda mucho (si el interrogado le había preguntado acerca de la $x^{99}$ en su lugar, yo habría ninguno que $\|x^{99}\|=0$ y no hay valor no negativo menor que 0). Pero este no es el caso, entonces, ¿qué debo hacer?

Edit: ¿$x\in P_{\le 98}$? $\displaystyle\int_{-1}^1 x^{100} \, dx = \left.\frac{x^{102}} {102}\right|_{-1}^1=0$. Es correcto?

Answer 1

Esta es una elaboración en angryavian del comentario.

El $L^2$-la distancia es definida por $$\|f-g\|_2=\left(\int_{-1}^1|f(z)-g(z)|^2\,dz\right)^{1/2}$$ with inner product given by $$\langle f,g\rangle_2=\int_{-1}^1f(x)\overline{g(x)}\,dx.$$

Usted va a querer trabajar con la proyección en $P_{\le 98}$. Dado que estamos trabajando con finito-dimensional de los espacios, el punto en $P_{\le 98}$ que es la más cercana a algún otro punto es la proyección sobre este subespacio. Claramente, $P_{\le 98}$ es atravesado por elementos de la forma$x^n$$n=0,1,\dots, 98$. Así pues, usted desea encontrar un monic, grado 100 polinomio $P$ con cero coeficiente de $x^{99}$ que $\int_{-1}^1P(x)x^n\,dx=0$ por cada $n=0,\dots, 98$. Esto es sólo un sistema de 99 ecuaciones lineales en el 99 variables.

El punto de $P_{98}$ que es la más cercana a$x^{100}$$Q(x)=P(x)-x^{100}$, por lo que acaba de encontrar la distancia entre los $Q$$x^{100}$.

En su edición, integrada mal y se olvidó de la plaza el integrando.