Vector de paquetes de rango $k$ con base $S_{1}$

Question

No entiendo cómo resolver el siguiente problema. Me pueden ayudar?

Demostrar que sólo hay dos vectores paquetes de rango $k$ con base $S^{1}$ $-$ trivial $1_{k}$ y no trivial $\eta_{k}$.

A continuación, vamos a $S^{1}=\{z\in C, |z|=1\}$ y $f:S^{1} \to S^{1}$, $f(z)=z^{n}$. Encontrar el paquete $f^{*}\eta_{k}$.

Answer 1

Aquí está la idea de embrague funciones. (Casi todo de lo que voy a decir de las obras, más en general, de cualquier esfera.)

Empezar con un rango de $k$ vector paquete de $\xi$$S^1$. Deje $U$ el de apertura del hemisferio norte, extendido ligeramente más allá de la línea del ecuador. Asimismo, vamos a $V$ el de apertura del hemisferio sur, ligeramente extendida. Por eso, $S^1 = U\cup V$ $U\cap V$ se compone de dos pequeños discontinuo abrir los intervalos alrededor de $(\pm 1,0)$.

Dado que tanto $U$ $V$ son contracible, $\xi|_U$ $\xi|_V$ debe ser trivial. El completo paquete de $\xi$ puede ser recuperado por el encolado $\xi|_U \cong U\times \mathbb{R}^k$ $\xi|_V \cong V\times\mathbb{R}^k$ oportunamente. Tal encolado está dada por un mapa de $f:U\cap V\rightarrow Gl(k,\mathbb{R})$, llama la agarrando la función de $\xi$.

Hecho: Si $f$ $g:U\cap V\rightarrow Gl(k,\mathbb{R})$ son homotópica, a continuación, los paquetes se forman por encolado a través de $f$ $g$ son isomorfos.

Ya que en nuestro caso, $U\cap V$ es homotopy equivalente a $S^0$, un discontinuo de la unión de dos puntos, el conjunto de homotopy clases de mapas de $U\cap V$ $Gl(k,\mathbb{R})$es natural bijective correspondencia con $\pi_0(Gl(k,\mathbb{R}))$. Pero esto es bien conocido por ser un 2 acentuados. De ello se desprende que hay en la mayoría de los 2 paquetes de un determinado rango de más de $S^1$.

Para mostrar que hay al menos 2 paquetes de cada rango de más de $S^1$, comenzar con la observación de que el paquete de Moebius $M$ es un trivial paquete de más de $S^1$ de la fila $1$. Además, el paquete de Moebius es no orientable. Ahora, de convencerse de que $M\oplus 1_{k-1}$ también debe ser nonorientable y rango $k$, por lo que este proporciona un trivial paquete de rango $k$$S^1$.

Finalmente, para el último argumento, ahora hemos demostrado que $\eta_k$ es isomorfo a $M\oplus 1_{k-1}$. Ahora, para calcular el $f^\ast \eta_k$, es claro que es el mismo que $(f^\ast M) \oplus 1_{k-1}$ eso es suficiente para saber que $f^\ast M$ es. Esto se puede hacer con las manos (y las fotos!). Sólo para dar una sugerencia, la respuesta es que $f^\ast M$ es trivial iff $n$ es incluso.

Answer 2

También puede utilizar el hecho de que $S^1$ es el 1-pt compactification de la unidad de intervalo de $I=[0,1]$, junto con el hecho de que $I$ es contráctiles, de modo que cada paquete de más de $I$ es trivial. Ahora, si usted pegamento $0$~$1$ en $I$ conseguir $S^1$ a partir de I , entonces el $\mathbb R^k$- paquete de más de $S^1$ también pegamento a lo largo de este mapa; de manera informal, la fibra de más de $0$ va a la cola con la fibra a $1$ según este mapa (lo que se llama la monodromy). Como Jason dijo anteriormente, homotópica encolado mapas dar lugar a isomorfo paquetes. Luego nos basta considerar el homotopy clases de homeomorphisms del yo a sí mismo , hasta isotopía( de modo que puede pegar la copia de $\mathbb R^k$ $1$ con la copia de $\mathbb R^k$$0$. Hay , hasta isotopía, sólo dos auto-homeomorphisms; $+I$ $-I$