Una "Matriz De Trigonometría"

Question

$e^X$ de la matriz $X$ se define como siempre-la convergencia de series de taylor (siempre que $X$ $n \times n$ matriz compleja): $$e^X:=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{X^k}{k!}$$ Se me ocurrió que bien podría definir $\cos(X):=\frac12(e^{iX}+e^{-iX})$$\sin(X):=\frac1{2i}(e^{iX}-e^{-iX})$. Ahora algunas preguntas obvias surgir:

• Hay una generalización de $2\pi$, el período de seno y coseno? Quizás la mejor manera de hacerlo es generalizar el de Euler Identidad $e^{2i\pi}=1$; Es allí matriz $T$ tal que $e^T=1$? Esto implica que $\cos (X+T)=\cos (X), \sin(X+T)=\sin (X)$.
• Un simple cálculo muestra que $\cos^2(X)+\sin^2(X)=I$. Podemos generalizar a otras identidades trigonométricas?
• Puede que este concepto se utiliza además para obtener resultados útiles? Mis sentidos me dicen que esto debe encontrar su lugar en matemáticas aplicadas.

Si hay alguna referencia anterior (que creo que es probable) por favor me informan.

Answer 1

1. Sí, cualquier diagonalizable la matriz de $T$ cuyos autovalores son múltiplos enteros de $2 \pi i$ tiene esta propiedad, pero esto no implica la identidad que desee en general, a menos que $X$ $T$ viaje. Así, en particular, $T$ puede ser escalar.

2. Sí, cualquier trigonométricas identidad, que es una consecuencia de un polinomio de identidad entre las expresiones de la forma $e^{ix}$ mantiene también para el transporte de las matrices.

3. Realmente la utilidad de operación es la matriz exponencial (la resolución de ecuaciones diferenciales, en relación Lie y álgebras de Lie grupos, etc.) y todo lo demás es sólo de ella se derivan. Pero una palabra clave que usted podría estar interesado es "funcional cálculo."

Answer 2

El holomorphic funcional de cálculo proporciona un álgebra de homomorphism de funciones analíticas en un barrio de $\sigma(X)$ (el espectro de $X$) para el cerrado subalgebra de la $n \times n$ matrices generadas por $X$ (en general, esto es cierto en cualquier complejo de álgebra de Banach). Una forma de hacerlo es $$f(X) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(z) (zI - X)^{-1}\ dz$$ where $\Gamma$ is a contour that surrounds $\sigma(X)$ in an open set where $f$ es analítica. Todas las identidades verdaderas para el común de funciones analíticas que se trasladan a las funciones de $X$.

En particular, si elegimos un localmente constante $f$ cuyos valores en un barrio de $\sigma(X)$ son múltiplos enteros de $2 \pi i$ , $f(X)$ satisface $e^{f(X)} = I$, $\cos(X + f(X)) = \cos(X)$, etc.