Puede cohomologies siempre se define como el cociente entre el kernel por el de la imagen de una determinada operación?

Question

Por ejemplo, respecto de de Rham cohomology como se explicó en la parte inferior de la página 5 aquí, se considera el espacio vectorial de todas las formas en un colector de $M$, $A_{DR}(M)$ en la notación de papel (?).

El $p$-ésimo de Rham cohomology se define como el cociente entre el núcleo y la imagen de la exterior derivado $d$ que actúa sobre el espacio de $p$ $p-1$ formas, respectivamente, como

$$ H_{DR}^p(M) = \frac{Ker(d: A_{DR}^{p}(M)\rightarrow A_{DR}^{p+1}(M))} {Im(d: A_{DR}^{p-1}(M)\rightarrow A_{DR}^{p}(M))} $$

Puede cohomology siempre se define como el núcleo dividido por la imagen de una determinada operación?

¿Qué cohomology media o "medida" tan simple como sea posible, términos intuitivos en el de Rham caso, pero también en general?

PS: he intentado leer la wikipedia, por supuesto, pero era (todavía no?) muy esclarecedor para mí ...

Answer 1

Cohomology/homología siempre se define de esta manera. Un complejo de cadena es un vector del espacio equipado con un lineal mapa de $d:V\to V$ tal que $d^2=0$. Esto asegura que la imagen es un subespacio del núcleo, de modo que el cociente es definido, y este cociente es la homología de la cadena de complejos.

Hay muchas teorías de homología, algunos están estrechamente relacionadas y algunas son completamente independientes. Por ejemplo, de Rham cohomology, singular cohomology, simplicial cohomology, celulares cohomology y Morse cohomology todos son isomorfos cuando todos hacen sentido. Sin embargo, hay un montón de otras cosas, como el grupo de homología, la homología de Hochschild, que nada tienen mucho que ver con la topología y son puramente algebraico. Y otras teorías como la Khovanov de homología, que es un invariante de nudos.

En el caso de de Rham, usted puede pensar en él como la medición de los "agujeros" de ciertas dimensiones. Por ejemplo, la primera de Rham cohomology de que el círculo es la $H^1(S^1)=\mathbb{R}$ y superior cohomologies se $0$, pero para una esfera tenemos un generador en el segundo cohomology $H^2(S^2)=\mathbb{R}$, por lo que es la detección de las dimensiones superiores "agujero" en $S^2$. La familia de teorías de homología (singular, celulares, etc), todos hacen lo mismo.

En general, no hay una única respuesta a lo que la teoría de la homología es la medición, ya que surgen en muchos entornos completamente diferentes propósitos. Y precisamente lo que Khovanov homología es la medición es casi una cuestión abierta.

Answer 2

Un cochain compleja $(A^{\bullet}, d^{\bullet})$ es una secuencia de abelian grupos $\dots, A^{-2}, A^{-1}, A^0, A^1, A^2, \dots$ y el grupo de homomorphisms $d^k : A^k \to A^{k+1}$ tal que $d^k\circ d^{k-1} = 0$. Es decir, tenemos un complejo

$$\dots \xrightarrow{d^{-3}} A^{-2} \xrightarrow{d^{-2}} A^{-1} \xrightarrow{d^{-1}} A^0 \xrightarrow{d^0} A^1 \xrightarrow{d^1} A^2 \xrightarrow{d^2} \dots$$

Como $d^k\circ d^{k-1} = 0$, $\operatorname{im} d^{k-1} \subseteq \ker d^k$. Además, como el grupo de $A^k$ es abelian, $\operatorname{im} d^{k-1}$ es un subgrupo normal, por lo que podemos formar el cociente grupo

$$H^k(A^{\bullet}, d^{\bullet}) := \frac{\ker d^k : A^k \to A^{k+1}}{\operatorname{im} d^{k-1} : A^{k-1} \to A^k}.$$

Esto se llama el $k^{\text{th}}$ cohomology grupo de la cochain compleja $(A^{\bullet}, d^{\bullet})$.

Tenga en cuenta que $H^k(A^{\bullet}, d^{\bullet}) = 0$ si y sólo si el complejo es exacta en $A^k$ ( $\operatorname{im} d^{k-1} = \ker d^k$ ). Por lo que podemos ver $H^k(A^{\bullet}, d^{\bullet})$ como una medida de cuán cerca el complejo está para ser exactos en$A^k$, es decir, cómo cerrar la inclusión $\operatorname{im} d^{k-1} \subseteq \ker d^k$ es para que se una a la igualdad (el más grande de $H^k(A^{\bullet}, d^{\bullet})$, más elementos de $\ker d^k$ hay que no están en $\operatorname{im} d^{k-1}$). Desde este punto de vista, parece que teniendo en cuenta que $\ker d^k\setminus \operatorname{im} d^{k-1}$ es mucho más natural de hacer las cosas. Un problema con este enfoque es que mientras $A^{k-1}$, $A^k$, $\ker d^k$, y $\operatorname{im} d^{k-1}$ son todos los grupos, $\ker d^k\setminus \operatorname{im} d^{k-1}$ no es un grupo, mientras que $H^k(A^{\bullet}, d^{\bullet})$ es. La estructura del grupo es muy útil, que es la razón por la cohomology se define como es.

El ejemplo que dio, de Rham cohomology, es el cohomology de la cochain compleja $(A^{\bullet}_{DR}(M), d^{\bullet})$ donde $d^k : A^k_{DR}(M) \to A^{k+1}_{DR}(M)$ es el exterior de derivados. Tenga en cuenta que $\ker d^k$ es el conjunto de cerrado $k$-formas y $\operatorname{im} d^{k-1}$ exacta de la $k$-formas, por lo $H^k_{DR}(M)$ medidas de cómo cerrar la instrucción "cada cerró $k$-formulario es exacta" es de ser verdad.

Su primera pregunta parece ser:

Hacer todo cohomology grupos surgen de tomar la cohomology de un cochain complejo?

Lo que significa ser un cohomology grupo (o, más precisamente, un cohomology teoría) puede ser definido axiomáticamente el uso de la Eilenberg-Steenrod axiomas.

Mientras que hay muchas maneras diferentes de definir una colección de cohomology grupos $\dots H^{-2}, H^{-1}, H^0, H^1, H^2, \dots$, algunos de los cuales no están definidos como la cohomology de un cochain complejo, sí existe un cochain compleja $(A^{\bullet}, d^{\bullet})$ cuyo cohomology grupos son isomorfos a los dados: simplemente tome $A^k = H^k$$d^k = 0$, luego

$$H^k(A^{\bullet}, d^{\bullet}) = \frac{\ker d^k : A^k \to A^{k+1}}{\operatorname{im} d^{k-1} : A^{k-1} \to A^k} = \frac{A^k}{0} \cong A^k = H^k.$$

Answer 3

$\newcommand{\dd}{\partial}\newcommand{\Brak}[1]{\left\langle #1\right\rangle}$Para dar una mejor respuesta primaria con la intención de complementar las respuestas existentes, aquí están algunas técnicas de cálculo-tipo de observaciones. A lo largo de, $M$ denota una compacta, suave colector de dimensión $n$ (posiblemente desconectado), y formas diferenciales son lisas. Brevemente,

• $p$-dimensiones de Rham coholomogy medidas "¿cuántos linealmente independientes de la $p$-dimensiones reales de la homología de las clases de $M$ contiene". (William S. Massey de la Topología Algebraica artículo en la Enciclopedia Británica da un claro geométrica, introducción a la homología.)

Si $X$ es un liso $k$-cadena y $\omega$ es un buen $p$-forma en $M$, vamos $$ \Brak{X, \omega} = \begin{cases} \int_{X} \omega & k = p, \\ 0 & k \neq p, \end{casos} $$ denotar la "integración de emparejamiento". Si $X$ $(p + 1)$- de la cadena, el teorema de Stokes da $$ \Brak{\dd X, \omega} = \int_{\dd X} \omega = \int_{X} d\omega = \Brak{X, d\omega}. $$ Con respecto a la integración de la vinculación, el límite del operador en las cadenas y el exterior operador de la derivada en los formularios están formalmente adjunto.

1. Un cerrado de forma $\omega$ (es decir, con $d\omega = 0$) satisface $$ \Brak{\dd X, \omega} = \Brak{X, d\omega} = 0. $$ En palabras, la integral de $\omega$ a través de una $p$-cadena de delimitación algunos $(p + 1)$-la cadena se desvanece. En consecuencia, si $X_{1}$ $X_{2}$ son homólogas $p$-cadenas (es decir, cuya diferencia es un límite, decir $X_{1} - X_{2} = \dd Y$), luego $$ \Brak{X_{1}, \omega} = \Brak{X_{2}, \omega}. $$

2. Un exacto $p$forma $\omega$ (es decir, con $\omega = d\eta$ algunos $(p - 1)$forma $\eta$) satisface $$ \Brak{X, \omega} = \Brak{X, d\eta} = \Brak{\dd X, \eta}. $$ En particular, la integral de $\omega$ a través de una sin fronteras $p$-dimensiones de la cadena se desvanece. En consecuencia, si $X_{1}$ $X_{2}$ $p$- cadenas de tener el mismo límite, entonces $$ \Brak{X_{1}, \omega} = \Brak{X_{2}, \omega}. $$

A través de la integración de emparejamiento, $p$- forma determina un valor real de la función en $p$-cadenas (con coeficientes reales). Artículo 1 dice que un cerrado $p$-forma determina un valor real de la función en el real de la homología de las clases. En el punto 2 se dice que esta función no se modifica con la adición de un exacto $p$-forma, es decir, es la constante de de Rham cohomology clases.