La parte fraccionaria de $n\log(n)$

Question

Cuando yo estaba pensando en mi otra pregunta en la secuencia

$$p(n)=\min_a\left\{a+b,\ \left\lfloor\frac {2^a}{3^b}\right\rfloor=n\right\}$$

He encontrado un enlace interesante con la secuencia

$$q(n)=\{n\log(n)\}=n\log(n)-[n\log(n)]$$

la parte fraccionaria de $n\log(n)$.

Si dibujamos la secuencia de $q$, obtenemos ($n$hasta $520$, $5\,000$ y $30\,000$ respectivamente):

Podemos ver algunas lagunas aspecto de las parábolas.

Cuál es la causa de esas lagunas? ¿Por qué se ven como este?

En mi otra pregunta, podemos observar estructuras similares:

Una respuesta me está diciendo que es debido a la continuación de la fracción de $\log2/\log 3$.

Podrían las dos preguntas relacionadas?

Answer 1

Mientras que esto no es una respuesta completa, con el fin de obtener una idea de este fenómeno, considere la posibilidad de la expresión $$\{q(n+1)-q(n)\}=\{(n+1)\log(n+1)-n\log(n)\}=\{n\log(1+\frac{1}{n})+\log(n+1)\}$$ El primer sumando $n\log(1+\frac{1}{n})\sim 1-\frac{1}{2n}$, que es casi un entero y no afecta demasiado en esa expresión. De ello se desprende que $\{q(n+1)-q(n)\}\sim\{\log(n+1)\}$. Así que si $n+1\sim e^k$ o, equivalentemente,$\log(n+1)\sim k$, entonces la diferencia anterior es casi cero. Usted puede ver esto en el diagrama de la $e^4\sim 54, e^5 \sim 148, e^5 \sim 403$ que es la parte inferior de la "parábolas". Un poco antes de $\{q(n+1)-q(n)\}\sim\{\log(n+1)\}$ es un poco menor que 1 por lo que su gráfica es monótona decreciente, y de manera similar, después de que el gráfico es monótona creciente.

Si, por ejemplo,$n+1\sim e^{5.5}\sim 255$, entonces la diferencia anterior es más o menos 1/2 y a continuación podrá ver los dos "parábolas" una encima de la otra. El mismo argumento que va a trabajar para $n\sim e^{k +\frac{p}{q}}$ cuando se soluciona el racional $\frac{p}{q}$.