Puede un no-anillo local tiene sólo dos prime ideales?
La única manera de que esto sería posible si el anillo de $R$ tenía dos distintos máxima ideales $\mathfrak{m}$$\mathfrak{n}$, y ningún otro primer ideales. Sospecho que un anillo existe, aunque no sé cómo construirlo.
Si $(A,\mathfrak p)$ $(B,\mathfrak q)$ son locales anillos con sólo un primer ideal, a continuación, $R=A\times B$ tiene esta propiedad: un primer ideal debe contener $(1,0)$ o $(0,1)$ ya que su producto es $0$, y entonces es fácil ver que el prime debe ser $A\times\mathfrak q$ o $\mathfrak p\times B$, respectivamente. (Más en general, si $R=A\times B$ para cualquiera de los dos anillos de $A$$B$, el de los números primos en $R$ son exactamente los conjuntos de la forma $A\times \mathfrak q$ o $\mathfrak p\times B$ donde $\mathfrak q$ es una de las principales de $B$ o $\mathfrak p$ es una de las principales de $A$.)
Por el contrario, cada ejemplo tiene esta forma. De hecho, si $R$ no es local y tiene exactamente dos primeros ideales, tanto en el primer ideales debe ser máxima. De ello se desprende que $\operatorname{Spec}(R)$ es un espacio discreto con dos puntos de $\mathfrak p$$\mathfrak q$. El hecho de que la estructura de la gavilla en $\operatorname{Spec}(R)$ es una gavilla de ello se sigue que la canónica mapa de $R\to R_{\mathfrak p}\times R_{\mathfrak q}$ es un isomorfismo (desde $R_{\mathfrak p}$ es exactamente el valor de la estructura de la gavilla en el conjunto abierto $\{\mathfrak p\}$ $R_{\mathfrak q}$ es exactamente el valor de la estructura de la gavilla en el conjunto abierto $\{\mathfrak q\}$).
Deje $p$ $q$ ser dos diferentes prime ideales de $R$ de la altura cero. Set $S=R-(p\cup q)$ y considerar la posibilidad de $S^{-1} R.$ Máxima ideales son $S^{-1}p$$S^{-1}q $.
Tenga en cuenta que hay una correspondencia uno a uno entre el primer ideales de $S^{-1}R$ y el primer ideales de $R$ que no cumplan $S$ (3.11 de Atiyah-Macdonald).
Dados dos campos, $k_1,k_2$, el anillo de $k_1\times k_2$ tiene esta propiedad, con $\mathfrak m =k_1\times \{0\}$$\mathfrak n=\{0\}\times k_2$.
Más generalmente, si $R_1$ $R_2$ son locales anillos con ningún otro primer ideales, a continuación, $R_1\times R_2$ tiene esta propiedad, creo.
La verdadera pregunta es si se pueden encontrar interesantes los casos de los demás. Específicamente, hay un ejemplo $R$ que no tiene ningún no-trivial idempotents - elementos $e$ otros de $1,0$ tal que $e^2=e$.
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