Dimensiones (phi,Gamma)-módulos en char p

Question

Me gustaría entender mejor el caso más simple de la correspondencia entre las representaciones de Galois y (phi,Gamma)-módulos. Es decir, considerar: 1-dimensional de representaciones de Galois $G_{Q_p}$ más de $F_p de dólares que están en correspondencia con 1-dimensional etale (phi,Gamma)-módulos de más de $F_p((T))$.

Hay un número finito de tales representaciones de Galois. Por otra parte, sus asociados (phi,Gamma)-los módulos son muy simples, la acción de phi y Gamma puede ser descrito (en algunas bases elemento) como escalar por un elemento de $F_p$ (en vez de $F_p((T))$).

Mi pregunta: ¿se puede ver directamente en el (phi,Gamma)-módulo lado? Es decir, dada una 1-dimensional etale (phi,Gamma)-módulo $D$ más de $F_p((T))$, encontrar un $D'$ isomorfo $D$ que $D'$ tiene una base en la que las matrices de phi y elementos de Gamma están en $F_p^\times$.

Answer 1

OK...creo que puedo ver cómo hacer esto ahora. En fin, yo estoy viendo de $(p-1)^2$ diferentes $(\phi\Gamma)$-módulos que coincide bien con el Galois lado.

Para ello, vamos a $D$ ser cualquier 1-dimensional etale $(\phi\Gamma)$-módulo. Vamos a $e$ de base, y el conjunto $\phi(e)=h(T)e$ con $h(T) \en F_p((T))^\times$. Escribe $h(T) = h_0 T^a f(T)$ con $h_0 \en F_p^\times$ y $f(T) \en F_p[[T]]$ $f(0)=1$.

El cambio de base a partir de la $e$ a $u(T)e$ con $u(T) \en F_p((T))^\times$ da $$ \phi(u(T)e) = u(T^p)h(T)e = \frac{u(T^p)}{u(T)} h(T) u(T)e). $$ Yo reclamo que uno puede encontrar $u(T)$ tal que $u(T)/u(T^p)$ equivale a cualquier elemento de $1+TF_p[[T]]$. De hecho, para ese tipo de elemento $g(T)$, el infinito producto de $\prod_{j=1}^\infty \phi^j(g(T))$ (que esperemos que converge desde $g(0)=1$).

Por lo tanto, podemos cambiar la base, por lo que $\phi$ tiene la forma $\phi(e) = h_0 T^a e$ -- es decir, podemos matar a los $f(T)$ plazo. Además, al hacer un cambio de base de la forma $e$ va $T^b e$, podemos suponer que $0 \leq < p-1$.

Ahora, usamos el hecho de que el $\phi$ y $\Gamma$ acciones conmutar (que es un fuerte estado, incluso en la dimensión 1). Es decir, dejar que $\gamma$ ser un generador de $\Gamma$ y $\gamma e = g(T) e$. Entonces $\gamma \phi e = \phi \gamma e$ implica $$ ((1+T)^{\chi(\gamma)}-1)^g(T) = g(T^p) T^una. $$ Comparando líder de los coeficientes, vemos que esto es posible sólo si $a=0$ y $g(T)$ es una constante.

Por lo tanto, $D$ tiene una base de $e$ de modo que $\phi(e) = h_0 e$ y $\gamma(e) = g_0 e$ con $h_0,g_0 \en F_p^\times$ como se desee.

Se ve bien? Cualquier encuestadores para el 2-dimensional caso?

Answer 2

La correspondencia requiere el $(\phi\Gamma)$-módulo para tener el \'etale la propiedad de sus subyacentes $\phi$-módulo, y esto juega un papel esencial en la prueba de la correspondencia (véase Fontaine original de los artículos, o de la CMI de la escuela de verano notas de la conferencia en $p$-ádico Hodge teoría, por ejemplo). Así que supongo que te refieres a imponer la \'etale de la propiedad. Pero incluso para el trivial de la representación (de la dimensión 1) las acciones de $\phi$ y $\Gamma$ son más complicados que $\mathbf{F}_p^{\times}$-cambios de escala en relación a una base adecuada. ¿Te refieres a preguntar por qué en una adecuada base de $(\phi\Gamma)$-módulos asociados a los poderes de la mod $p$ cyclotomic caracteres están relacionados con el caso de el carácter trivial por un "Tate giro" en el $(\phi \Gamma)$-módulo lado? Si es así, consulte el Ejemplo 13.6.6 en el CMI de la escuela de verano notas de la conferencia (que se encarga de $\mathbf{Z} _p(r)$ de manera más general, para cualquier $p$-ádico de campo $K$, y puede pasar a mod $p$ de la versión de la misma manera a obtener para el caso de preguntar acerca de).

Mirando hacia atrás en el actual borrador de las notas, ahora veo un error en las notas allí (creo que $\chi^t$ al final debe ser de $\chi^r$). Creo que es mejor que corregir para el proyecto final, así que gracias por hacer la pregunta, Rob!

Answer 3

Hey Rob! Puede que desee echar un vistazo a Colmez "Représentations triangulines de la dimensión 2" (aquí). Él está trabajando (φ, Γ)-módulos a través de Q_p (por que me refiero a la Robba anillo de Q_p) no F_p((T)), aunque. Pero él se muestra que a cada uno-dimensional (φ, Γ)-en el módulo P_p está dada por un p-ádico de carácter δ de $\mathbf{Q}_p^\times$ con la acción de φ sobre una base vectorial dada por d(p) y la acción de $\gamma\en\Gamma$ dada por $\delta(\chi(\gamma))$ (con $\chi$ el $p$-ádico cyclotomic personaje). Consulte la sección 2 y la proposición 3.1, en particular, de Colmez del papel (en el que también describe la $H^1$'s de estos unidimensional $(\phi\Gamma)$-módulos).

EDIT: mirando Colmez de papel, parece que la forma en que él sabe que todo esto es unidimensional $(\phi\Gamma)$-módulos es mediante el uso de la equivalencia de catgeories con representaciones de Galois, así que supongo que esto en realidad no responder a su pregunta ya que no aborda el $(\phi\Gamma)$-módulos intrínsecamente.